Theorem ellogrn 26887

Description: Write out the property 𝐴 ∈ ran log explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ellogrn	⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))

Proof of Theorem ellogrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imf 15280	. . . 4 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
2		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
3		elpreima 7057	. . . 4 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π)))
5		pire 26783	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
6	5	renegcli 11619	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
7	6	rexri 11367	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ*
8		elioc2 13540	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π) ↔ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
9	7, 5, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π) ↔ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
10		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π) ↔ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
11	9, 10	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π) ↔ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
12		imcl 15278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
13	12	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π) ↔ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))))
14	11, 13	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π) ↔ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
15	14	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ( -π(,]π)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
16	4, 15	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
17		logrn 26886	. . 3 ⊢ ran log = (◡ℑ “ ( -π(,]π))
18	17	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ 𝐴 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
19		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ( -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π)))
20	16, 18, 19	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542  (,]cioc 13477  ℑcim 15265  πcpi 16232  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884

This theorem is used by:  relogrn  26889  logrncn  26890  logimcl  26897  logrnaddcl  26902  logi  26915  logneg  26916  logcj  26934  logimul  26942  logneg2  26943  logcnlem4  26973  logf1o2  26978  logreclem  27090  asinsin  27220  asin1  27222  atanlogaddlem  27241  atanlogsub  27244  atantan  27251