Theorem imcncf 24810

Description: Imaginary part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcncf	⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Proof of Theorem imcncf

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imf 15084	. 2 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
2		imcn2 15570	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦))
3	2	rgen2 3192	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦)
4		ssid 4000	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		ax-resscn 11187	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6		elcncf2 24797	. . 3 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦))))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. 2 ⊢ (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) ↔ (ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((ℑ‘𝑤) − (ℑ‘𝑥))) < 𝑦)))
8	1, 3, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11128  ℝcr 11129   < clt 11270   − cmin 11466  ℝ⁺crp 12998  ℑcim 15069  abscabs 15205  –cn→ccncf 24783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-cncf 24785

This theorem is referenced by:  cnrehmeo  24865  cnrehmeoOLD  24866  cncombf  25574  cnmbf  25575  dvloglem  26569  mbfresfi  37074  ftc1anclem8  37108