Theorem uzsup 13916

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsup	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		flcl 13848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5		ifcl 4535	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7		zre 12612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		reflcl 13849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9		peano2re 11400	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11		max1 13229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
12	7, 10, 11	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13		eluz2 12886	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		uzsup.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16	14, 15	eleqtrrdi 2876	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
19	6	zred 12718	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20		fllep1 13854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22		max2 13231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
23	7, 10, 22	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 11384	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
26	25	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
27	16, 24, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
28	27	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
29		uzssz 12901	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
30	15, 29	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
31		zssre 12615	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
32	30, 31	sstri 3947	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
33		ressxr 11270	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3947	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ*
35		supxrunb1 13363	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
37	28, 36	sylib 221	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  supcsup 9407  ℝcr 11116  1c1 11118   + caddc 11120  +∞cpnf 11257  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fl 13845

This theorem is used by:  climrecl  15660  climge0  15661  caurcvg  15754  caucvg  15756  mbflimsup  25878  limsupvaluz  46482  ioodvbdlimc1lem2  46706  ioodvbdlimc2lem  46708