Theorem uzsup 13816

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsup	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		flcl 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5		ifcl 4513	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7		zre 12522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		reflcl 13749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9		peano2re 11313	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11		max1 13131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
12	7, 10, 11	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13		eluz2 12788	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		uzsup.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16	14, 15	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
19	6	zred 12627	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20		fllep1 13754	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22		max2 13133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
23	7, 10, 22	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 11297	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
26	25	rspcev 3565	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
27	16, 24, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
28	27	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
29		uzssz 12803	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
30	15, 29	eqsstri 3969	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
31		zssre 12525	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
32	30, 31	sstri 3932	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
33		ressxr 11183	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3932	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ*
35		supxrunb1 13265	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
37	28, 36	sylib 218	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  supcsup 9347  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ⌊cfl 13743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fl 13745

This theorem is referenced by:  climrecl  15539  climge0  15540  caurcvg  15633  caucvg  15635  mbflimsup  25646  limsupvaluz  46157  ioodvbdlimc1lem2  46381  ioodvbdlimc2lem  46383