MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsup 13861
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsup (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 flcl 13793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
32peano2zd 12700 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5 ifcl 4574 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7 zre 12593 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 reflcl 13794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9 peano2re 11418 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11 max1 13197 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
127, 10, 11syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13 eluz2 12859 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1341 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
15 uzsup.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
1614, 15eleqtrrdi 2840 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17 simpr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1810adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
196zred 12697 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20 fllep1 13799 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22 max2 13199 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
237, 10, 22syl2an 595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
2417, 18, 19, 21, 23letrd 11402 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25 breq2 5152 . . . . 5 (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥𝑛𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
2625rspcev 3609 . . . 4 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2716, 24, 26syl2anc 583 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2827ralrimiva 3143 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
29 uzssz 12874 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
3015, 29eqsstri 4014 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
31 zssre 12596 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
3230, 31sstri 3989 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
33 ressxr 11289 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3989 . . 3 𝑍 ⊆ ℝ*
35 supxrunb1 13331 . . 3 (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
3728, 36sylib 217 1 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9464  cr 11138  1c1 11140   + caddc 11142  +∞cpnf 11276  *cxr 11278   < clt 11279  cle 11280  cz 12589  cuz 12853  cfl 13788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790
This theorem is referenced by:  climrecl  15560  climge0  15561  caurcvg  15656  caucvg  15658  mbflimsup  25608  limsupvaluz  45096  ioodvbdlimc1lem2  45320  ioodvbdlimc2lem  45322
  Copyright terms: Public domain W3C validator