MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsup 12875
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsup (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 flcl 12809 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
32peano2zd 11737 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5 ifcl 4289 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 590 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7 zre 11632 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 reflcl 12810 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9 peano2re 10467 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11 max1 12223 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
127, 10, 11syl2an 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13 eluz2 11897 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1443 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
15 uzsup.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
1614, 15syl6eleqr 2855 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17 simpr 477 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1810adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
196zred 11734 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20 fllep1 12815 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22 max2 12225 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
237, 10, 22syl2an 589 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
2417, 18, 19, 21, 23letrd 10452 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25 breq2 4815 . . . . 5 (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥𝑛𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
2625rspcev 3462 . . . 4 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2716, 24, 26syl2anc 579 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2827ralrimiva 3113 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
29 uzssz 11911 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
3015, 29eqsstri 3797 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
31 zssre 11635 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
3230, 31sstri 3772 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
33 ressxr 10341 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3772 . . 3 𝑍 ⊆ ℝ*
35 supxrunb1 12356 . . 3 (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
3728, 36sylib 209 1 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3734  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  supcsup 8557  cr 10192  1c1 10194   + caddc 10196  +∞cpnf 10329  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cz 11628  cuz 11891  cfl 12804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-inf 8560  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fl 12806
This theorem is referenced by:  climrecl  14613  climge0  14614  caurcvg  14706  caucvg  14708  mbflimsup  23738  limsupvaluz  40602  ioodvbdlimc1lem2  40809  ioodvbdlimc2lem  40811
  Copyright terms: Public domain W3C validator