Theorem uzsup 13829

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsup	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		flcl 13761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5		ifcl 4566	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7		zre 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		reflcl 13762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9		peano2re 11386	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11		max1 13165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
12	7, 10, 11	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13		eluz2 12827	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1340	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		uzsup.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16	14, 15	eleqtrrdi 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
19	6	zred 12665	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20		fllep1 13767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22		max2 13167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
23	7, 10, 22	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 11370	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25		breq2 5143	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
26	25	rspcev 3604	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
27	16, 24, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
28	27	ralrimiva 3138	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
29		uzssz 12842	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
30	15, 29	eqsstri 4009	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
31		zssre 12564	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
32	30, 31	sstri 3984	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
33		ressxr 11257	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3984	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ*
35		supxrunb1 13299	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
37	28, 36	sylib 217	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  supcsup 9432  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ⌊cfl 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fl 13758

This theorem is referenced by:  climrecl  15529  climge0  15530  caurcvg  15625  caucvg  15627  mbflimsup  25539  limsupvaluz  44970  ioodvbdlimc1lem2  45194  ioodvbdlimc2lem  45196