Theorem uzsup 13767

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsup	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		flcl 13699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5		ifcl 4518	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7		zre 12472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		reflcl 13700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9		peano2re 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11		max1 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13		eluz2 12738	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		uzsup.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16	14, 15	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
19	6	zred 12577	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20		fllep1 13705	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22		max2 13086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
23	7, 10, 22	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 11270	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25		breq2 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
26	25	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
27	16, 24, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
28	27	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
29		uzssz 12753	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
30	15, 29	eqsstri 3976	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
31		zssre 12475	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
32	30, 31	sstri 3939	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
33		ressxr 11156	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3939	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ*
35		supxrunb1 13218	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
37	28, 36	sylib 218	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fl 13696

This theorem is referenced by:  climrecl  15490  climge0  15491  caurcvg  15584  caucvg  15586  mbflimsup  25594  limsupvaluz  45816  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042