Theorem uzsup 13896

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzsup	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		flcl 13828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
3	2	peano2zd 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5		ifcl 4538	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7		zre 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		reflcl 13829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9		peano2re 11383	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11		max1 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
12	7, 10, 11	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13		eluz2 12868	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1360	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
15		uzsup.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16	14, 15	eleqtrrdi 2880	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
18	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
19	6	zred 12700	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20		fllep1 13834	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22		max2 13213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
23	7, 10, 22	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 11367	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25		breq2 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
26	25	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
27	16, 24, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
28	27	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛)
29		uzssz 12883	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
30	15, 29	eqsstri 3991	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
31		zssre 12598	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
32	30, 31	sstri 3954	. . . 4 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
33		ressxr 11253	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
34	32, 33	sstri 3954	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ*
35		supxrunb1 13345	. . 3 ⊢ (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ≤ 𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
37	28, 36	sylib 221	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9400  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ⌊cfl 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fl 13825

This theorem is referenced by:  climrecl  15634  climge0  15635  caurcvg  15728  caucvg  15730  mbflimsup  25794  limsupvaluz  46348  ioodvbdlimc1lem2  46572  ioodvbdlimc2lem  46574