MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsup 13899
Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
uzsup (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 flcl 13831 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℤ)
32peano2zd 12722 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
5 ifcl 4575 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
7 zre 12614 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 reflcl 13832 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9 peano2re 11431 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
11 max1 13223 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
127, 10, 11syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
13 eluz2 12881 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1342 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
15 uzsup.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
1614, 15eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
17 simpr 484 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1810adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
196zred 12719 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
20 fllep1 13837 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1))
22 max2 13225 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
237, 10, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑥) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
2417, 18, 19, 21, 23letrd 11415 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀))
25 breq2 5151 . . . . 5 (𝑛 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) → (𝑥𝑛𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)))
2625rspcev 3621 . . . 4 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍𝑥 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑥) + 1), ((⌊‘𝑥) + 1), 𝑀)) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2716, 24, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
2827ralrimiva 3143 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛)
29 uzssz 12896 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
3015, 29eqsstri 4029 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
31 zssre 12617 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
3230, 31sstri 4004 . . . 4 𝑍 ⊆ ℝ
33 ressxr 11302 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 4004 . . 3 𝑍 ⊆ ℝ*
35 supxrunb1 13357 . . 3 (𝑍 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞))
3634, 35ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 𝑥𝑛 ↔ sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
3728, 36sylib 218 1 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cz 12610  cuz 12875  cfl 13826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828
This theorem is referenced by:  climrecl  15615  climge0  15616  caurcvg  15709  caucvg  15711  mbflimsup  25714  limsupvaluz  45663  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889
  Copyright terms: Public domain W3C validator