Theorem isleagd 29254

Description: Sufficient condition for "less than" angle relation, deduction version (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isleag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isleag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isleag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isleag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
isleag.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
isleag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
isleagd.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
isleagd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isleagd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
isleagd.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Assertion

Ref	Expression
isleagd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem isleagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isleagd.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
2	1	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ (≤∠‘𝐺) = ≤
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (≤∠‘𝐺) = ≤ )
4		isleagd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
7		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐷 = 𝐷)
8		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐸 = 𝐸)
9	7, 8, 5	s3eqd 14939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
10	9	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
11	6, 10	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)))
12		isleagd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13		isleagd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
14	12, 13	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
15	4, 11, 14	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
16		isleag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		isleag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		isleag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		isleag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		isleag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
21		isleag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		isleag.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		isleag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	isleag 29253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
25	15, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
26	3, 25	breqdi 5122	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ⟨“cs3 14917  Basecbs 17307  TarskiGcstrkg 28776  cgrAccgra 29201  inAcinag 29241  ≤_∠cleag 29242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-leag 29252

This theorem is used by: (None)