Theorem isleagd 28871

Description: Sufficient condition for "less than" angle relation, deduction version (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isleag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isleag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isleag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isleag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
isleag.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
isleag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
isleagd.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
isleagd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isleagd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
isleagd.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Assertion

Ref	Expression
isleagd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem isleagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isleagd.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
2	1	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (≤∠‘𝐺) = ≤
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (≤∠‘𝐺) = ≤ )
4		isleagd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
7		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐷 = 𝐷)
8		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐸 = 𝐸)
9	7, 8, 5	s3eqd 14900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
10	9	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
11	6, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)))
12		isleagd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13		isleagd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
14	12, 13	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
15	4, 11, 14	rspcedvd 3624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
16		isleag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		isleag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		isleag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		isleag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		isleag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
21		isleag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		isleag.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		isleag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	isleag 28870	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
25	15, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
26	3, 25	breqdi 5163	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  TarskiGcstrkg 28450  cgrAccgra 28830  inAcinag 28858  ≤_∠cleag 28859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-leag 28869

This theorem is referenced by: (None)