Theorem isleagd 28782

Description: Sufficient condition for "less than" angle relation, deduction version (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isleag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isleag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isleag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isleag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
isleag.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
isleag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
isleagd.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
isleagd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isleagd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
isleagd.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Assertion

Ref	Expression
isleagd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem isleagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isleagd.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
2	1	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (≤∠‘𝐺) = ≤
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (≤∠‘𝐺) = ≤ )
4		isleagd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	breq1d 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
7		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐷 = 𝐷)
8		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐸 = 𝐸)
9	7, 8, 5	s3eqd 14837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
10	9	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
11	6, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)))
12		isleagd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13		isleagd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
14	12, 13	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
15	4, 11, 14	rspcedvd 3593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
16		isleag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		isleag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		isleag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		isleag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		isleag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
21		isleag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		isleag.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		isleag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	isleag 28781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
25	15, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
26	3, 25	breqdi 5125	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ⟨“cs3 14815  Basecbs 17186  TarskiGcstrkg 28361  cgrAccgra 28741  inAcinag 28769  ≤_∠cleag 28770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-leag 28780

This theorem is referenced by: (None)