Theorem isleagd 29202

Description: Sufficient condition for "less than" angle relation, deduction version (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isleag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isleag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isleag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isleag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
isleag.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
isleag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
isleagd.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
isleagd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
isleagd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
isleagd.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Assertion

Ref	Expression
isleagd	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem isleagd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isleagd.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
2	1	eqcomi 2775	. . 3 ⊢ (≤∠‘𝐺) = ≤
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (≤∠‘𝐺) = ≤ )
4		isleagd.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
6	5	breq1d 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
7		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐷 = 𝐷)
8		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝐸 = 𝐸)
9	7, 8, 5	s3eqd 14927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
10	9	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
11	6, 10	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)))
12		isleagd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13		isleagd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
14	12, 13	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
15	4, 11, 14	rspcedvd 3586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
16		isleag.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
17		isleag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
18		isleag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		isleag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		isleag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
21		isleag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		isleag.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
23		isleag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	isleag 29201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
25	15, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
26	3, 25	breqdi 5129	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  ⟨“cs3 14905  Basecbs 17294  TarskiGcstrkg 28733  cgrAccgra 29155  inAcinag 29189  ≤_∠cleag 29190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-leag 29200

This theorem is used by: (None)