Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isleagd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isleagd 26640
 Description: Sufficient condition for "less than" angle relation, deduction version (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isleag.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a (𝜑𝐴𝑃)
isleag.b (𝜑𝐵𝑃)
isleag.c (𝜑𝐶𝑃)
isleag.d (𝜑𝐷𝑃)
isleag.e (𝜑𝐸𝑃)
isleag.f (𝜑𝐹𝑃)
isleagd.s = (≤𝐺)
isleagd.x (𝜑𝑋𝑃)
isleagd.1 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
isleagd.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
Assertion
Ref Expression
isleagd (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem isleagd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isleagd.s . . . 4 = (≤𝐺)
21eqcomi 2831 . . 3 (≤𝐺) =
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (≤𝐺) = )
4 isleagd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
5 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
65breq1d 5052 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
7 eqidd 2823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝐷 = 𝐷)
8 eqidd 2823 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝐸 = 𝐸)
97, 8, 5s3eqd 14217 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
109breq2d 5054 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
116, 10anbi12d 633 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ((𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)))
12 isleagd.1 . . . . 5 (𝜑𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13 isleagd.2 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
1412, 13jca 515 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩))
154, 11, 14rspcedvd 3601 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
16 isleag.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
17 isleag.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
18 isleag.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
19 isleag.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
20 isleag.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
21 isleag.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
22 isleag.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
23 isleag.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
2416, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23isleag 26639 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
2515, 24mpbird 260 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
263, 25breqdi 5057 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  ⟨“cs3 14195  Basecbs 16474  TarskiGcstrkg 26222  cgrAccgra 26599  inAcinag 26627  ≤∠cleag 26628 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-leag 26638 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator