Theorem leagne1 28995

Description: Deduce inequality from the less-than angle relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isleag.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
isleag.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
isleag.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
isleag.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
isleag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
isleag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
isleag.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
isleag.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
leagne.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
leagne1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Proof of Theorem leagne1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isleag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		isleag.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		isleag.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		isleag.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		isleag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		isleag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		isleag.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
17		simprr 782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)
18	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17	cgrane1 28958	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19		leagne.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
20		isleag.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
21	1, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20	isleag 28993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩)))
22	19, 21	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑥”⟩))
23	18, 22	r19.29a 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  ⟨“cs3 14852  Basecbs 17228  TarskiGcstrkg 28573  Itvcitv 28579  hlGchlg 28746  cgrAccgra 28953  inAcinag 28981  ≤_∠cleag 28982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-trkgc 28594  df-trkgcb 28596  df-trkg 28599  df-cgrg 28657  df-hlg 28747  df-cgra 28954  df-leag 28992

This theorem is referenced by: (None)