MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0indd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0indd 12415
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0indd.1 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜒))
nn0indd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nn0indd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nn0indd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nn0indd.5 (𝜑𝜒)
nn0indd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nn0indd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0indd
StepHypRef Expression
1 nn0indd.1 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nn0indd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nn0indd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nn0indd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nn0indd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nn0indd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝜃𝜏))
1211expcom 414 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nn0ind 12413 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝜑𝜂))
1514impcom 408 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  (class class class)co 7277  0cc0 10869  1c1 10870   + caddc 10872  0cn0 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318
This theorem is referenced by:  faclbnd6  14011  cjexp  14859  absexp  15014  bcxmas  15545  mhppwdeg  21338  tmdmulg  23241  omndmul2  31335  omndmul  31337  breprexp  32610  sticksstones22  40121  factwoffsmonot  40160  dvnxpaek  43453  itcovalendof  45982  itcovalpc  45985
  Copyright terms: Public domain W3C validator