Theorem nn0indd 12347

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0indd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nn0indd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nn0indd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nn0indd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nn0indd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nn0indd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nn0indd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0indd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0indd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nn0indd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nn0indd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nn0indd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nn0indd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nn0indd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nn0ind 12345	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  faclbnd6  13941  cjexp  14789  absexp  14944  bcxmas  15475  mhppwdeg  21250  tmdmulg  23151  omndmul2  31240  omndmul  31242  breprexp  32513  sticksstones22  40052  factwoffsmonot  40091  dvnxpaek  43373  itcovalendof  45903  itcovalpc  45906