Theorem nn0indd 12415

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0indd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜓 ↔ 𝜒))
nn0indd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
nn0indd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
nn0indd.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
nn0indd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
nn0indd.6	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)

Assertion

Ref	Expression
nn0indd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0indd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0indd.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2	1	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
3		nn0indd.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ 𝜃))
4	3	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
5		nn0indd.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
6	5	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
7		nn0indd.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜂))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
9		nn0indd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
10		nn0indd.6	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
11	10	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝜃 → 𝜏))
12	11	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
13	12	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
14	2, 4, 6, 8, 9, 13	nn0ind 12413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝜑 → 𝜂))
15	14	impcom 408	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7277  0cc0 10869  1c1 10870   + caddc 10872  ℕ₀cn0 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318

This theorem is referenced by:  faclbnd6  14011  cjexp  14859  absexp  15014  bcxmas  15545  mhppwdeg  21338  tmdmulg  23241  omndmul2  31335  omndmul  31337  breprexp  32610  sticksstones22  40121  factwoffsmonot  40160  dvnxpaek  43453  itcovalendof  45982  itcovalpc  45985