MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0indd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0indd 12445
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0indd.1 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜒))
nn0indd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
nn0indd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
nn0indd.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
nn0indd.5 (𝜑𝜒)
nn0indd.6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
nn0indd ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝜑   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem nn0indd
StepHypRef Expression
1 nn0indd.1 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜒))
21imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜒)))
3 nn0indd.2 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜃))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜃)))
5 nn0indd.3 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜓𝜏))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜏)))
7 nn0indd.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑𝜓) ↔ (𝜑𝜂)))
9 nn0indd.5 . . 3 (𝜑𝜒)
10 nn0indd.6 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝜃) → 𝜏)
1110ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝜃𝜏))
1211expcom 413 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝜃𝜏)))
1312a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝜃) → (𝜑𝜏)))
142, 4, 6, 8, 9, 13nn0ind 12443 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝜑𝜂))
1514impcom 407 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ0) → 𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902  0cn0 12261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348
This theorem is referenced by:  faclbnd6  14041  cjexp  14889  absexp  15044  bcxmas  15575  mhppwdeg  21368  tmdmulg  23271  omndmul2  31366  omndmul  31368  breprexp  32641  sticksstones22  40150  factwoffsmonot  40189  dvnxpaek  43518  itcovalendof  46055  itcovalpc  46058
  Copyright terms: Public domain W3C validator