Theorem ackendofnn0 49622

Description: The Ackermann function at any nonnegative integer is an endofunction on the nonnegative integers. (Contributed by AV, 8-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackendofnn0	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)

Proof of Theorem ackendofnn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (Ack‘𝑥) = (Ack‘0))
2	1	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝑥 = 0 → ((Ack‘𝑥):ℕ0⟶ℕ0 ↔ (Ack‘0):ℕ0⟶ℕ0))
3		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Ack‘𝑥) = (Ack‘𝑦))
4	3	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((Ack‘𝑥):ℕ0⟶ℕ0 ↔ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0))
5		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (Ack‘𝑥) = (Ack‘(𝑦 + 1)))
6	5	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((Ack‘𝑥):ℕ0⟶ℕ0 ↔ (Ack‘(𝑦 + 1)):ℕ0⟶ℕ0))
7		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (Ack‘𝑥) = (Ack‘𝑀))
8	7	feq1d 6688	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((Ack‘𝑥):ℕ0⟶ℕ0 ↔ (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0))
9		ackval0 49618	. . 3 ⊢ (Ack‘0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑛 + 1))
10		peano2nn0 12572	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	fmpti 7109	. 2 ⊢ (Ack‘0):ℕ0⟶ℕ0
12		nn0ex 12538	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0)
15	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
16	13, 14, 15	itcovalendof 49607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1)):ℕ0⟶ℕ0)
17		1nn0 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		ffvelcdm 7078	. . . . . 6 ⊢ ((((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1)):ℕ0⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1) ∈ ℕ0)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1) ∈ ℕ0)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1))
21	19, 20	fmptd 7111	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1)):ℕ0⟶ℕ0)
22		ackvalsuc1mpt 49616	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (Ack‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1)))
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) → (Ack‘(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1)))
24	23	feq1d 6688	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) → ((Ack‘(𝑦 + 1)):ℕ0⟶ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑦))‘(𝑛 + 1))‘1)):ℕ0⟶ℕ0))
25	21, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0) → (Ack‘(𝑦 + 1)):ℕ0⟶ℕ0)
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((Ack‘𝑦):ℕ0⟶ℕ0 → (Ack‘(𝑦 + 1)):ℕ0⟶ℕ0))
27	2, 4, 6, 8, 11, 26	nn0ind 12720	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  IterCompcitco 49595  Ackcack 49596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-itco 49597  df-ack 49598

This theorem is used by:  ackfnnn0  49623  ackvalsucsucval  49626