Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackendofnn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackendofnn0 47457
Description: The Ackermann function at any nonnegative integer is an endofunction on the nonnegative integers. (Contributed by AV, 8-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackendofnn0 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„•0)
Proof of Theorem ackendofnn0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ (Ackβ€˜π‘₯) = (Ackβ€˜0))
21feq1d 6701 . 2 (π‘₯ = 0 β†’ ((Ackβ€˜π‘₯):β„•0βŸΆβ„•0 ↔ (Ackβ€˜0):β„•0βŸΆβ„•0))
3 fveq2 6890 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Ackβ€˜π‘₯) = (Ackβ€˜π‘¦))
43feq1d 6701 . 2 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((Ackβ€˜π‘₯):β„•0βŸΆβ„•0 ↔ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0))
5 fveq2 6890 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (Ackβ€˜π‘₯) = (Ackβ€˜(𝑦 + 1)))
65feq1d 6701 . 2 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((Ackβ€˜π‘₯):β„•0βŸΆβ„•0 ↔ (Ackβ€˜(𝑦 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0))
7 fveq2 6890 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ackβ€˜π‘₯) = (Ackβ€˜π‘€))
87feq1d 6701 . 2 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((Ackβ€˜π‘₯):β„•0βŸΆβ„•0 ↔ (Ackβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„•0))
9 ackval0 47453 . . 3 (Ackβ€˜0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑛 + 1))
10 peano2nn0 12516 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
119, 10fmpti 7112 . 2 (Ackβ€˜0):β„•0βŸΆβ„•0
12 nn0ex 12482 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ β„•0 ∈ V)
14 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0)
1510adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
1613, 14, 15itcovalendof 47442 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0)
17 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
18 ffvelcdm 7082 . . . . . 6 ((((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) ∈ β„•0)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . 5 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) ∈ β„•0)
20 eqid 2730 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
2119, 20fmptd 7114 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)):β„•0βŸΆβ„•0)
22 ackvalsuc1mpt 47451 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
2322adantr 479 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) β†’ (Ackβ€˜(𝑦 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
2423feq1d 6701 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) β†’ ((Ackβ€˜(𝑦 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0 ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘¦))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)):β„•0βŸΆβ„•0))
2521, 24mpbird 256 . . 3 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0) β†’ (Ackβ€˜(𝑦 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0)
2625ex 411 . 2 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((Ackβ€˜π‘¦):β„•0βŸΆβ„•0 β†’ (Ackβ€˜(𝑦 + 1)):β„•0βŸΆβ„•0))
272, 4, 6, 8, 11, 26nn0ind 12661 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜π‘€):β„•0βŸΆβ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12476  IterCompcitco 47430  Ackcack 47431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-itco 47432  df-ack 47433
This theorem is referenced by:  ackfnnn0  47458  ackvalsucsucval  47461
  Copyright terms: Public domain W3C validator