Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqe 47912
Description: Lemma for itsclc0 47922. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of an arbitrary line and a circle. This theorem holds even for degenerate lines (๐ด = ๐ต = 0). (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itscnhlc0yqe.t ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
itscnhlc0yqe.u ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqe (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))

Proof of Theorem itsclc0yqe
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21anim1i 613 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด = 0))
32ancoms 457 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด = 0))
4 simpr12 1255 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 simpr13 1256 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6 simpr2 1192 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
7 simpr3 1193 . . . 4 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))
8 itscnhlc0yqe.q . . . . 5 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
9 itscnhlc0yqe.t . . . . 5 ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
10 itscnhlc0yqe.u . . . . 5 ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
118, 9, 10itschlc0yqe 47911 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))
123, 4, 5, 6, 7, 11syl311anc 1381 . . 3 ((๐ด = 0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))
1312ex 411 . 2 (๐ด = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0)))
141anim1i 613 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
1514ancoms 457 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0))
16 simpr12 1255 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
17 simpr13 1256 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
18 simpr2 1192 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
19 simpr3 1193 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))
208, 9, 10itscnhlc0yqe 47910 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))
2115, 16, 17, 18, 19, 20syl311anc 1381 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„))) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))
2221ex 411 . 2 (๐ด โ‰  0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0)))
2313, 22pm2.61ine 3022 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„)) โ†’ ((((๐‘‹โ†‘2) + (๐‘Œโ†‘2)) = (๐‘…โ†‘2) โˆง ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = ๐ถ) โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘Œโ†‘2)) + ((๐‘‡ ยท ๐‘Œ) + ๐‘ˆ)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  2c2 12305  โ„+crp 13014  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  47915
  Copyright terms: Public domain W3C validator