Theorem itsclc0yqe 48017

Description: Lemma for itsclc0 48027. Quadratic equation for the y-coordinate of the intersection points of an arbitrary line and a circle. This theorem holds even for degenerate lines (𝐴 = 𝐵 = 0). (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqe	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Proof of Theorem itsclc0yqe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	anim1i 613	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0))
3	2	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0))
4		simpr12 1255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr13 1256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		simpr2 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
8		itscnhlc0yqe.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
9		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
10		itscnhlc0yqe.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
11	8, 9, 10	itschlc0yqe 48016	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
12	3, 4, 5, 6, 7, 11	syl311anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
13	12	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0)))
14	1	anim1i 613	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
15	14	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16		simpr12 1255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		simpr13 1256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		simpr2 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
19		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
20	8, 9, 10	itscnhlc0yqe 48015	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
21	15, 16, 17, 18, 19, 20	syl311anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))
22	21	ex 411	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0)))
23	13, 22	pm2.61ine 3014	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ)) → ((((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌)) = 𝐶) → ((𝑄 · (𝑌↑2)) + ((𝑇 · 𝑌) + 𝑈)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145   − cmin 11476  -cneg 11477  2c2 12300  ℝ⁺crp 13009  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  itsclc0yqsol  48020