Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0yqsollem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0yqsollem1 46938
Description: Lemma 1 for itsclc0yqsol 46940. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlc0yqe.q ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
itscnhlc0yqe.t ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
itscnhlc0yqe.u ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
itsclc0yqsollem1.d ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
Assertion
Ref Expression
itsclc0yqsollem1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem1
StepHypRef Expression
1 itscnhlc0yqe.t . . . . 5 ๐‘‡ = -(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))
21oveq1i 7371 . . . 4 (๐‘‡โ†‘2) = (-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)
3 2cnd 12239 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
64, 5mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11183 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
8 sqneg 14030 . . . . . 6 ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2))
97, 8syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2))
103, 6sqmuld 14072 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)))
11 sq2 14110 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
1211a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (2โ†‘2) = 4)
134, 5sqmuld 14072 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))
1412, 13oveq12d 7379 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((๐ต ยท ๐ถ)โ†‘2)) = (4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
159, 10, 143eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2) = (4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
162, 15eqtrid 2785 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‡โ†‘2) = (4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
17 itscnhlc0yqe.q . . . . . 6 ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
18 itscnhlc0yqe.u . . . . . 6 ๐‘ˆ = ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))
1917, 18oveq12i 7373 . . . . 5 (๐‘„ ยท ๐‘ˆ) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
20 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2120sqcld 14058 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
224sqcld 14058 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2321, 22addcld 11182 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
245sqcld 14058 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2625sqcld 14058 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘…โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2721, 26mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
2823, 24, 27subdid 11619 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
2921, 22, 24adddird 11188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ถโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
3021, 22, 27adddird 11188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
3129, 30oveq12d 7379 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))
3222, 24mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3321, 24mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3421, 27mulcld 11183 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
3522, 26mulcld 11183 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3621, 35mulcld 11183 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
3734, 36addcld 11182 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆˆ โ„‚)
3833, 32addcomd 11365 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
3922, 21, 26mul12d 11372 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
4039oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
4138, 40oveq12d 7379 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))
4232, 33, 37, 41assraddsubd 11577 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ตโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
4328, 31, 423eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
4419, 43eqtrid 2785 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘„ ยท ๐‘ˆ) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
4544oveq2d 7377 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ)) = (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))))
4616, 45oveq12d 7379 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))))
47 4cn 12246 . . . . 5 4 โˆˆ โ„‚
4847a1i 11 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
49 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5049sqcld 14058 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5150adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
52 itsclc0yqsollem1.d . . . . 5 ๐ท = (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2))
5317, 23eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
5426, 53mulcld 11183 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
5554, 24subcld 11520 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5652, 55eqeltrid 2838 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5748, 51, 56mulassd 11186 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท) = (4 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
5833, 37subcld 11520 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))) โˆˆ โ„‚)
5932, 32, 58subsub4d 11551 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))))
6032subidd 11508 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = 0)
6160oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = (0 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))
62 0cnd 11156 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
6362, 33, 37subsub2d 11549 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = (0 + ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))))
6437, 33subcld 11520 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
6564addlidd 11364 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6661, 63, 653eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6759, 66eqtr3d 2775 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
6821, 27, 35adddid 11187 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))
6921, 22, 26adddird 11188 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))
7069eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)))
7170oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2))))
7268, 71eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2))))
7372oveq1d 7376 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
7423, 26mulcld 11183 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7521, 74, 24subdid 11619 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))))
7673, 75eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) ยท ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2))))
7717a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘„ = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
7877oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) = ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
7926, 23mulcomd 11184 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)))
8078, 79eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)))
8180oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘…โ†‘2) ยท ๐‘„) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
8252, 81eqtrid 2785 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท = ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)))
8382eqcomd 2739 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2)) = ๐ท)
8483oveq2d 7377 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท (๐‘…โ†‘2)) โˆ’ (๐ถโ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))
8567, 76, 843eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))))))) = ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท))
8685oveq2d 7377 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = (4 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ท)))
8732, 58addcld 11182 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))) โˆˆ โ„‚)
8848, 32, 87subdid 11619 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))))
8957, 86, 883eqtr2rd 2780 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((4 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2))) โˆ’ (4 ยท (((๐ตโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) + (((๐ดโ†‘2) ยท (๐ถโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2))) + ((๐ดโ†‘2) ยท ((๐ตโ†‘2) ยท (๐‘…โ†‘2)))))))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
9046, 89eqtrd 2773 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‡โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐‘„ ยท ๐‘ˆ))) = ((4 ยท (๐ดโ†‘2)) ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  2c2 12216  4c4 12218  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  itsclc0yqsollem2  46939
  Copyright terms: Public domain W3C validator