Theorem itsclc0yqsollem1 49700

Description: Lemma 1 for itsclc0yqsol 49702. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
2	1	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ (𝑇↑2) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2)
3		2cnd 12347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
4		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8		sqneg 14183	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
10	3, 6	sqmuld 14226	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
11		sq2 14265	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
13	4, 5	sqmuld 14226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
14	12, 13	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
15	9, 10, 14	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
16	2, 15	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑇↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
18		itscnhlc0yqe.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
19	17, 18	oveq12i 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑄 · 𝑈) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
20		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22	4	sqcld 14212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
24	5	sqcld 14212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
27	21, 26	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	subdid 11698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
29	21, 22, 24	adddird 11262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
30	21, 22, 27	adddird 11262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
31	29, 30	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
32	22, 24	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
33	21, 24	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	21, 27	mulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	22, 26	mulcld 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
36	21, 35	mulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
37	34, 36	addcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
38	33, 32	addcomd 11440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
39	22, 21, 26	mul12d 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
40	39	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
41	38, 40	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))
42	32, 33, 37, 41	assraddsubd 11656	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
43	28, 31, 42	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
44	19, 43	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑈) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
45	44	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (𝑄 · 𝑈)) = (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
46	16, 45	oveq12d 7435	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
47		4cn 12354	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℂ)
49		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 14212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
52		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
53	17, 23	eqeltrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	26, 53	mulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
55	54, 24	subcld 11597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	48, 51, 56	mulassd 11260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
58	33, 37	subcld 11597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℂ)
59	32, 32, 58	subsub4d 11628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
60	32	subidd 11585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = 0)
61	60	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
62		0cnd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
63	62, 33, 37	subsub2d 11626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))))
64	37, 33	subcld 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
66	61, 63, 65	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
67	59, 66	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
68	21, 27, 35	adddid 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
69	21, 22, 26	adddird 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
70	69	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
71	70	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
72	68, 71	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
73	72	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
74	23, 26	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
75	21, 74, 24	subdid 11698	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
76	73, 75	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))))
77	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
78	77	oveq2d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
79	26, 23	mulcomd 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
80	78, 79	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
81	80	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
82	52, 81	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
83	82	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) = 𝐷)
84	83	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
85	67, 76, 84	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
86	85	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
87	32, 58	addcld 11256	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) ∈ ℂ)
88	48, 32, 87	subdid 11698	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
89	57, 86, 88	3eqtr2rd 2804	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
90	46, 89	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  -cneg 11470  2c2 12323  4c4 12325  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  itsclc0yqsollem2  49701