Theorem itsclc0yqsollem1 45996

Description: Lemma 1 for itsclc0yqsol 45998. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
2	1	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (𝑇↑2) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2)
3		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
4		simpl2 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simpl3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8		sqneg 13764	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
10	3, 6	sqmuld 13804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
11		sq2 13842	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
13	4, 5	sqmuld 13804	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
14	12, 13	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
15	9, 10, 14	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
16	2, 15	syl5eq 2791	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑇↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
18		itscnhlc0yqe.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
19	17, 18	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ (𝑄 · 𝑈) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
20		simpl1 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 13790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22	4	sqcld 13790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
24	5	sqcld 13790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	sqcld 13790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
27	21, 26	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	subdid 11361	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
29	21, 22, 24	adddird 10931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
30	21, 22, 27	adddird 10931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
31	29, 30	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
32	22, 24	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
33	21, 24	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	21, 27	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	22, 26	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
36	21, 35	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
37	34, 36	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
38	33, 32	addcomd 11107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
39	22, 21, 26	mul12d 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
40	39	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
41	38, 40	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))
42	32, 33, 37, 41	assraddsubd 11319	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
43	28, 31, 42	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
44	19, 43	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑈) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
45	44	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (𝑄 · 𝑈)) = (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
46	16, 45	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
47		4cn 11988	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℂ)
49		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
52		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
53	17, 23	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	26, 53	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
55	54, 24	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	48, 51, 56	mulassd 10929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
58	33, 37	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℂ)
59	32, 32, 58	subsub4d 11293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
60	32	subidd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = 0)
61	60	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
62		0cnd 10899	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
63	62, 33, 37	subsub2d 11291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))))
64	37, 33	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
65	64	addid2d 11106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
66	61, 63, 65	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
67	59, 66	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
68	21, 27, 35	adddid 10930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
69	21, 22, 26	adddird 10931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
70	69	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
71	70	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
72	68, 71	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
73	72	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
74	23, 26	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
75	21, 74, 24	subdid 11361	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
76	73, 75	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))))
77	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
78	77	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
79	26, 23	mulcomd 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
80	78, 79	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
81	80	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
82	52, 81	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
83	82	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) = 𝐷)
84	83	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
85	67, 76, 84	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
86	85	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
87	32, 58	addcld 10925	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) ∈ ℂ)
88	48, 32, 87	subdid 11361	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
89	57, 86, 88	3eqtr2rd 2785	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
90	46, 89	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  2c2 11958  4c4 11960  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  itsclc0yqsollem2  45997