Theorem itsclc0yqsollem1 49918

Description: Lemma 1 for itsclc0yqsol 49920. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
2	1	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (𝑇↑2) = ( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2)
3		2cnd 12422	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
4		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8		sqneg 14259	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ → ( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
10	3, 6	sqmuld 14302	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
11		sq2 14341	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
13	4, 5	sqmuld 14302	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
14	12, 13	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
15	9, 10, 14	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ( -(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
16	2, 15	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑇↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
18		itscnhlc0yqe.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
19	17, 18	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑄 · 𝑈) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
20		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22	4	sqcld 14288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
24	5	sqcld 14288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
27	21, 26	mulcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	subdid 11773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
29	21, 22, 24	adddird 11335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
30	21, 22, 27	adddird 11335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
31	29, 30	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
32	22, 24	mulcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
33	21, 24	mulcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	21, 27	mulcld 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	22, 26	mulcld 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
36	21, 35	mulcld 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
37	34, 36	addcld 11329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
38	33, 32	addcomd 11513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
39	22, 21, 26	mul12d 11520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
40	39	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
41	38, 40	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))
42	32, 33, 37, 41	assraddsubd 11731	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
43	28, 31, 42	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
44	19, 43	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑈) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
45	44	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (𝑄 · 𝑈)) = (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
46	16, 45	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
47		4cn 12429	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℂ)
49		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 14288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
52		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
53	17, 23	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	26, 53	mulcld 11330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
55	54, 24	subcld 11670	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	48, 51, 56	mulassd 11333	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
58	33, 37	subcld 11670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℂ)
59	32, 32, 58	subsub4d 11701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
60	32	subidd 11658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = 0)
61	60	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
62		0cnd 11300	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
63	62, 33, 37	subsub2d 11699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))))
64	37, 33	subcld 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
66	61, 63, 65	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
67	59, 66	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
68	21, 27, 35	adddid 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
69	21, 22, 26	adddird 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
70	69	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
72	68, 71	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
73	72	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
74	23, 26	mulcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
75	21, 74, 24	subdid 11773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
76	73, 75	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))))
77	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
78	77	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
79	26, 23	mulcomd 11331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
80	78, 79	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
81	80	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
82	52, 81	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
83	82	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) = 𝐷)
84	83	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
85	67, 76, 84	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
86	85	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
87	32, 58	addcld 11329	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) ∈ ℂ)
88	48, 32, 87	subdid 11773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
89	57, 86, 88	3eqtr2rd 2802	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
90	46, 89	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201   + caddc 11204   · cmul 11206   − cmin 11542   -cneg 11543  2c2 12398  4c4 12400  ↑cexp 14205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-seq 14146  df-exp 14206

This theorem is used by:  itsclc0yqsollem2  49919