Theorem itsclc0yqsollem1 48612

Description: Lemma 1 for itsclc0yqsol 48614. (Contributed by AV, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlc0yqe.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itscnhlc0yqe.t	⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
itscnhlc0yqe.u	⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
itsclc0yqsollem1.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

Assertion

Ref	Expression
itsclc0yqsollem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Proof of Theorem itsclc0yqsollem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlc0yqe.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = -(2 · (𝐵 · 𝐶))
2	1	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (𝑇↑2) = (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2)
3		2cnd 12342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
4		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8		sqneg 14153	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2))
10	3, 6	sqmuld 14195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
11		sq2 14233	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
13	4, 5	sqmuld 14195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
14	12, 13	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
15	9, 10, 14	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(2 · (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
16	2, 15	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑇↑2) = (4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17		itscnhlc0yqe.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
18		itscnhlc0yqe.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))
19	17, 18	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑄 · 𝑈) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))
20		simpl1 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	sqcld 14181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
22	4	sqcld 14181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
24	5	sqcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	sqcld 14181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
27	21, 26	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	subdid 11717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
29	21, 22, 24	adddird 11284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
30	21, 22, 27	adddird 11284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))))
31	29, 30	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))))
32	22, 24	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
33	21, 24	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
34	21, 27	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
35	22, 26	mulcld 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
36	21, 35	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) ∈ ℂ)
37	34, 36	addcld 11278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) ∈ ℂ)
38	33, 32	addcomd 11461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
39	22, 21, 26	mul12d 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) = ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
40	39	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
41	38, 40	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))
42	32, 33, 37, 41	assraddsubd 11675	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐵↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
43	28, 31, 42	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) − ((𝐴↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
44	19, 43	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 · 𝑈) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
45	44	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (𝑄 · 𝑈)) = (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
46	16, 45	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
47		4cn 12349	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℂ)
49		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 14181	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
52		itsclc0yqsollem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
53	17, 23	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 ∈ ℂ)
54	26, 53	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
55	54, 24	subcld 11618	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
56	52, 55	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 ∈ ℂ)
57	48, 51, 56	mulassd 11282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
58	33, 37	subcld 11618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))) ∈ ℂ)
59	32, 32, 58	subsub4d 11649	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))))
60	32	subidd 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) = 0)
61	60	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))
62		0cnd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
63	62, 33, 37	subsub2d 11647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))))
64	37, 33	subcld 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (0 + ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
66	61, 63, 65	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
67	59, 66	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
68	21, 27, 35	adddid 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))
69	21, 22, 26	adddird 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))
70	69	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
71	70	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) · (𝑅↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
72	68, 71	eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) = ((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))))
73	72	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
74	23, 26	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) ∈ ℂ)
75	21, 74, 24	subdid 11717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = (((𝐴↑2) · (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))))
76	73, 75	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))) − ((𝐴↑2) · (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))))
77	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
78	77	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
79	26, 23	mulcomd 11280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
80	78, 79	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑅↑2) · 𝑄) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)))
81	80	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2)) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
82	52, 81	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)))
83	82	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2)) = 𝐷)
84	83	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · (𝑅↑2)) − (𝐶↑2))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
85	67, 76, 84	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2))))))) = ((𝐴↑2) · 𝐷))
86	85	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = (4 · ((𝐴↑2) · 𝐷)))
87	32, 58	addcld 11278	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))) ∈ ℂ)
88	48, 32, 87	subdid 11717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))))
89	57, 86, 88	3eqtr2rd 2782	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))) − (4 · (((𝐵↑2) · (𝐶↑2)) + (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) − (((𝐴↑2) · ((𝐴↑2) · (𝑅↑2))) + ((𝐴↑2) · ((𝐵↑2) · (𝑅↑2)))))))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))
90	46, 89	eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑇↑2) − (4 · (𝑄 · 𝑈))) = ((4 · (𝐴↑2)) · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  4c4 12321  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  itsclc0yqsollem2  48613