MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2 14132
Description: Ordering law for exponentiation of a fixed real base greater than 1 to integer exponents. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
leexp2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀𝑁 ↔ (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem leexp2
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1096 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2 ltexp2 14131 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))
31, 2sylanb 580 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))
43notbid 318 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (¬ 𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))
5 simpl2 1189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 simpl3 1190 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 zre 12558 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8 zre 12558 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
9 lenlt 11288 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
107, 8, 9syl2an 595 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
115, 6, 10syl2anc 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
12 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 0red 11213 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
14 1red 11211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
15 0lt1 11732 . . . . . . 7 0 < 1
1615a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
17 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
1813, 14, 12, 16, 17lttrd 11371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1918gt0ne0d 11774 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
20 reexpclz 14044 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
2112, 19, 5, 20syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
22 reexpclz 14044 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
2312, 19, 6, 22syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
2421, 23lenltd 11356 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁) ↔ ¬ (𝐴𝑁) < (𝐴𝑀)))
254, 11, 243bitr4d 311 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀𝑁 ↔ (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   < clt 11244  cle 11245  cz 12554  cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  leexp2d  14211  hgt750leme  34125
  Copyright terms: Public domain W3C validator