Theorem leexp2 14235

Description: Ordering law for exponentiation of a fixed real base greater than 1 to integer exponents. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
leexp2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem leexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2		ltexp2 14234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
3	1, 2	sylanb 593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
4	3	notbid 321	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (¬ 𝑁 < 𝑀 ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
5		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		zre 12619	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8		zre 12619	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		lenlt 11312	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
10	7, 8, 9	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
11	5, 6, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
12		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		0red 11235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
14		1red 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
15		0lt1 11760	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
18	13, 14, 12, 16, 17	lttrd 11395	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
19	18	gt0ne0d 11802	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
20		reexpclz 14146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
21	12, 19, 5, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
22		reexpclz 14146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
23	12, 19, 6, 22	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
24	21, 23	lenltd 11380	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ ¬ (𝐴↑𝑁) < (𝐴↑𝑀)))
25	4, 11, 24	3bitr4d 314	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℤcz 12615  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  leexp2d  14316  hgt750leme  35166