Theorem leexp2a 14137

Description: Weak ordering relationship for exponentiation of a fixed real base greater than or equal to 1 to integer exponents. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
leexp2a	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem leexp2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 1)
6		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
7	2, 3, 1, 5, 6	ltletrd 11334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	elrpd 12992	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzel2 12798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		rpexpcl 14045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12995	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑀))
16		uznn0sub 12832	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	16	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		expge1 14064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
19	1, 17, 6, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
20	1	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	7	gt0ne0d 11742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ≠ 0)
22		eluzelz 12803	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		expsub 14075	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
25	20, 21, 23, 10, 24	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
26	19, 25	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
27		rpexpcl 14045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
28	8, 23, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	rpred 12995	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
30	3, 29, 12	lemuldivd 13044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀))))
31	26, 30	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁))
32	15, 31	eqbrtrrd 5131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  14199  digit1  14202  leexp2ad  14219  faclbnd4lem1  14258  climcndslem1  15815  climcndslem2  15816  ef01bndlem  16152  aaliou3lem2  26251  ackval42  48685