Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2a 13536
 Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 10637 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10635 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4 0lt1 11155 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 1)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 10793 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝐴)
81, 7elrpd 12420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 eluzel2 12240 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 rpexpcl 13448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
1312rpred 12423 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1413recnd 10662 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1514mulid2d 10652 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑀))
16 uznn0sub 12269 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
17163ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 expge1 13466 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁𝑀)))
201recnd 10662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
217gt0ne0d 11197 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ≠ 0)
22 eluzelz 12245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23223ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 expsub 13477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2619, 25breqtrd 5059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
27 rpexpcl 13448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
288, 23, 27syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2928rpred 12423 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
303, 29, 12lemuldivd 12472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀))))
3126, 30mpbird 260 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (𝐴𝑀)) ≤ (𝐴𝑁))
3215, 31eqbrtrrd 5057 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ≤ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  ↑cexp 13429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430 This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13595  digit1  13598  leexp2ad  13617  faclbnd4lem1  13653  climcndslem1  15199  climcndslem2  15200  ef01bndlem  15532  aaliou3lem2  24942  ackval42  45097
 Copyright terms: Public domain W3C validator