MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2a 14140
Description: Weak ordering relationship for exponentiation of a fixed real base greater than or equal to 1 to integer exponents. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 0red 11218 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3 1red 11216 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4 0lt1 11737 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 < 1)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 11375 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 < ๐ด)
81, 7elrpd 13016 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
9 eluzel2 12828 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 rpexpcl 14049 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
128, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
1312rpred 13019 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1413recnd 11243 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1514mullidd 11233 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘€))
16 uznn0sub 12862 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
17163ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
18 expge1 14068 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
201recnd 11243 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
217gt0ne0d 11779 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
22 eluzelz 12833 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23223ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24 expsub 14079 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 836 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
2619, 25breqtrd 5167 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
27 rpexpcl 14049 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
288, 23, 27syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
2928rpred 13019 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
303, 29, 12lemuldivd 13068 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘) โ†” 1 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€))))
3126, 30mpbird 257 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
3215, 31eqbrtrrd 5165 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  โ„+crp 12977  โ†‘cexp 14030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  14200  digit1  14203  leexp2ad  14220  faclbnd4lem1  14256  climcndslem1  15799  climcndslem2  15800  ef01bndlem  16132  aaliou3lem2  26229  ackval42  47638
  Copyright terms: Public domain W3C validator