Theorem leexp2a 13890

Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
leexp2a	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem leexp2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 10976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
4		0lt1 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 1)
6		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ 𝐴)
7	2, 3, 1, 5, 6	ltletrd 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 < 𝐴)
8	1, 7	elrpd 12769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9		eluzel2 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11		rpexpcl 13801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11003	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
15	14	mulid2d 10993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑀))
16		uznn0sub 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
17	16	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		expge1 13820	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
19	1, 17, 6, 18	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)))
20	1	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	7	gt0ne0d 11539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ≠ 0)
22		eluzelz 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		expsub 13831	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
25	20, 21, 23, 10, 24	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
26	19, 25	breqtrd 5100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀)))
27		rpexpcl 13801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
28	8, 23, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
29	28	rpred 12772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
30	3, 29, 12	lemuldivd 12821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁) ↔ 1 ≤ ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑𝑀))))
31	26, 30	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (1 · (𝐴↑𝑀)) ≤ (𝐴↑𝑁))
32	15, 31	eqbrtrrd 5098	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13949  digit1  13952  leexp2ad  13971  faclbnd4lem1  14007  climcndslem1  15561  climcndslem2  15562  ef01bndlem  15893  aaliou3lem2  25503  ackval42  46042