MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leexp2a 14176
Description: Weak ordering relationship for exponentiation of a fixed real base greater than or equal to 1 to integer exponents. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 0red 11255 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3 1red 11253 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4 0lt1 11774 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 < 1)
6 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
72, 3, 1, 5, 6ltletrd 11412 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 0 < ๐ด)
81, 7elrpd 13053 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
9 eluzel2 12865 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1093ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 rpexpcl 14085 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
128, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„+)
1312rpred 13056 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1413recnd 11280 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1514mullidd 11270 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) = (๐ดโ†‘๐‘€))
16 uznn0sub 12899 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
17163ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
18 expge1 14104 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
191, 17, 6, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
201recnd 11280 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
217gt0ne0d 11816 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
22 eluzelz 12870 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23223ad2ant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24 expsub 14115 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
2520, 21, 23, 10, 24syl22anc 837 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
2619, 25breqtrd 5178 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ 1 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€)))
27 rpexpcl 14085 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
288, 23, 27syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
2928rpred 13056 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
303, 29, 12lemuldivd 13105 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘) โ†” 1 โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘) / (๐ดโ†‘๐‘€))))
3126, 30mpbird 256 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘€)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
3215, 31eqbrtrrd 5176 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ„+crp 13014  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  14236  digit1  14239  leexp2ad  14256  faclbnd4lem1  14292  climcndslem1  15835  climcndslem2  15836  ef01bndlem  16168  aaliou3lem2  26298  ackval42  47847
  Copyright terms: Public domain W3C validator