Theorem hdmaplna1 42016

Description: Additive property of first (inner product) argument. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaplna1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaplna1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaplna1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaplna1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmaplna1.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
hdmaplna1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaplna1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaplna1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmaplna1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmaplna1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmaplna1	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmaplna1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaplna1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaplna1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaplna1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41219	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
8		hdmaplna1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaplna1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaplna1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 8, 5, 6, 9, 3, 10	hdmapcl 41939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
12	1, 5, 6, 2, 7, 3, 11	lcdvbaselfl 41704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈))
13		hdmaplna1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		hdmaplna1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		hdmaplna1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmaplna1.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
17		hdmaplna1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
18	15, 16, 8, 17, 7	lfladd 39175	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑍) ∈ (LFnl‘𝑈) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))
19	4, 12, 13, 14, 18	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑍)‘(𝑋 + 𝑌)) = (((𝑆‘𝑍)‘𝑋) ⨣ ((𝑆‘𝑍)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Scalarcsca 17174  LModclmod 20803  LFnlclfn 39166  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  LCDualclcd 41695  HDMapchdma 41901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-0g 17355  df-mre 17498  df-mrc 17499  df-acs 17501  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-oppg 19268  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-nzr 20438  df-rlreg 20619  df-domn 20620  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lvec 21047  df-lsatoms 39085  df-lshyp 39086  df-lcv 39128  df-lfl 39167  df-lkr 39195  df-ldual 39233  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504  df-lcdual 41696  df-mapd 41734  df-hvmap 41866  df-hdmap1 41902  df-hdmap 41903

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  42029