Theorem liminfvaluz3 46510

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminfvaluz3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
2		liminfvaluz3.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		liminfvaluz3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	feqmptdf 6951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		liminfvaluz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		liminfvaluz3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		liminfvaluz3.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	3	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10	6, 7, 8, 9	liminfvaluz 46506	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))
11	5, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℝ^*cxr 11237  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  -_𝑒cxne 13129  lim supclsp 15517  lim infclsi 46465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-xneg 13132  df-ico 13373  df-limsup 15518  df-liminf 46466

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  46529  liminfpnfuz  46530