Theorem liminfvaluz3 45777

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminfvaluz3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
2		liminfvaluz3.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		liminfvaluz3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	feqmptdf 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		liminfvaluz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		liminfvaluz3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		liminfvaluz3.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	3	ffvelcdmda 7018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10	6, 7, 8, 9	liminfvaluz 45773	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))
11	5, 10	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  ℝ^*cxr 11148  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  -_𝑒cxne 13011  lim supclsp 15377  lim infclsi 45732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-xneg 13014  df-ico 13254  df-limsup 15378  df-liminf 45733

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  45796  liminfpnfuz  45797