Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz3 44512
Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz3.1 β„²π‘˜πœ‘
liminfvaluz3.2 β„²π‘˜πΉ
liminfvaluz3.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfvaluz3.4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfvaluz3.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐹(π‘˜)

Proof of Theorem liminfvaluz3
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘˜π‘
2 liminfvaluz3.2 . . . 4 β„²π‘˜πΉ
3 liminfvaluz3.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
41, 2, 3feqmptdf 6963 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
54fveq2d 6896 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
6 liminfvaluz3.1 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
7 liminfvaluz3.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
8 liminfvaluz3.4 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
93ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
106, 7, 8, 9liminfvaluz 44508 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))))
115, 10eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„*cxr 11247  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  -𝑒cxne 13089  lim supclsp 15414  lim infclsi 44467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-xneg 13092  df-ico 13330  df-limsup 15415  df-liminf 44468
This theorem is referenced by:  liminflbuz2  44531  liminfpnfuz  44532
  Copyright terms: Public domain W3C validator