Theorem liminfvaluz3 44285

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminfvaluz3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
2		liminfvaluz3.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		liminfvaluz3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	feqmptdf 6948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		liminfvaluz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		liminfvaluz3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		liminfvaluz3.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	3	ffvelcdmda 7071	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10	6, 7, 8, 9	liminfvaluz 44281	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))
11	5, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2882   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  ℝ^*cxr 11229  ℤcz 12540  ℤ_≥cuz 12804  -_𝑒cxne 13071  lim supclsp 15396  lim infclsi 44240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-xneg 13074  df-ico 13312  df-limsup 15397  df-liminf 44241

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  44304  liminfpnfuz  44305