Theorem liminfvaluz3 41454

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvaluz3.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
liminfvaluz3.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
liminfvaluz3.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz3.4	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfvaluz3.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
2		liminfvaluz3.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		liminfvaluz3.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	feqmptdf 6558	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	fveq2d 6497	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		liminfvaluz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		liminfvaluz3.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		liminfvaluz3.4	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	3	ffvelrnda 6670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10	6, 7, 8, 9	liminfvaluz 41450	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))
11	5, 10	eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507  Ⅎwnf 1746   ∈ wcel 2048  Ⅎwnfc 2910   ↦ cmpt 5002  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  ℝ^*cxr 10465  ℤcz 11786  ℤ_≥cuz 12051  -_𝑒cxne 12314  lim supclsp 14678  lim infclsi 41409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-xneg 12317  df-ico 12553  df-limsup 14679  df-liminf 41410

This theorem is referenced by:  liminflbuz2  41473  liminfpnfuz  41474