Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz3 41454
Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz3.1 𝑘𝜑
liminfvaluz3.2 𝑘𝐹
liminfvaluz3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz3.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfvaluz3.5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz3
StepHypRef Expression
1 nfcv 2926 . . . 4 𝑘𝑍
2 liminfvaluz3.2 . . . 4 𝑘𝐹
3 liminfvaluz3.5 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3feqmptdf 6558 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
54fveq2d 6497 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
6 liminfvaluz3.1 . . 3 𝑘𝜑
7 liminfvaluz3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 liminfvaluz3.4 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
93ffvelrnda 6670 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
106, 7, 8, 9liminfvaluz 41450 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑘))))
115, 10eqtrd 2808 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2048  wnfc 2910  cmpt 5002  wf 6178  cfv 6182  *cxr 10465  cz 11786  cuz 12051  -𝑒cxne 12314  lim supclsp 14678  lim infclsi 41409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-xneg 12317  df-ico 12553  df-limsup 14679  df-liminf 41410
This theorem is referenced by:  liminflbuz2  41473  liminfpnfuz  41474
  Copyright terms: Public domain W3C validator