Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz2 45155
Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz2.k 𝑘𝜑
liminfvaluz2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfvaluz2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz2
StepHypRef Expression
1 liminfvaluz2.k . . 3 𝑘𝜑
2 liminfvaluz2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 liminfvaluz2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 liminfvaluz2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 11288 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61, 2, 3, 5liminfvaluz 45152 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
74rexnegd 44481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
81, 7mpteq2da 5240 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘𝑍 ↦ -𝐵))
98fveq2d 6895 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
109xnegeqd 44791 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
116, 10eqtrd 2767 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  cmpt 5225  cfv 6542  cr 11131  -cneg 11469  cz 12582  cuz 12846  -𝑒cxne 13115  lim supclsp 15440  lim infclsi 45111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-xneg 13118  df-ico 13356  df-limsup 15441  df-liminf 45112
This theorem is referenced by:  liminfvaluz4  45159
  Copyright terms: Public domain W3C validator