Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvaluz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvaluz2 42424
Description: Alternate definition of lim inf for a real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvaluz2.k 𝑘𝜑
liminfvaluz2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfvaluz2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfvaluz2.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
liminfvaluz2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem liminfvaluz2
StepHypRef Expression
1 liminfvaluz2.k . . 3 𝑘𝜑
2 liminfvaluz2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 liminfvaluz2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 liminfvaluz2.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10684 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61, 2, 3, 5liminfvaluz 42421 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))
74rexnegd 41767 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
81, 7mpteq2da 5127 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵) = (𝑘𝑍 ↦ -𝐵))
98fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
109xnegeqd 42061 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
116, 10eqtrd 2836 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑘𝑍𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑘𝑍 ↦ -𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  cmpt 5113  cfv 6328  cr 10529  -cneg 10864  cz 11973  cuz 12235  -𝑒cxne 12496  lim supclsp 14822  lim infclsi 42380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-xneg 12499  df-ico 12736  df-limsup 14823  df-liminf 42381
This theorem is referenced by:  liminfvaluz4  42428
  Copyright terms: Public domain W3C validator