Theorem lmfun 23705

Description: The convergence relation is function-like in a Hausdorff space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
lmfun	⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))

Proof of Theorem lmfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmrel 23554	. . 3 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Rel (⇝𝑡‘𝐽))
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝐽 ∈ Haus)
4		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦)
5		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)
6	3, 4, 5	lmmo 23704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8	7	alrimiv 1959	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
9	8	alrimiv 1959	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
10	9	alrimiv 1959	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
11		dffun2 6549	. 2 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
12	2, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1567   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Rel wrel 5655  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  ⇝_𝑡clm 23550  Hauscha 23632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-z 12698  df-uz 12970  df-top 23218  df-topon 23235  df-lm 23553  df-haus 23639

This theorem is used by:  hausmapdom  23825  lmcau  25640  minvecolem4a  31485  minvecolem4b  31486  minvecolem4  31488  hlimf  31845  heiborlem9  38847  bfplem1  38850  xlimfun  46959