Theorem lmfun 23567

Description: The convergence relation is function-like in a Hausdorff space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
lmfun	⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))

Proof of Theorem lmfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmrel 23416	. . 3 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Rel (⇝𝑡‘𝐽))
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝐽 ∈ Haus)
4		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦)
5		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)
6	3, 4, 5	lmmo 23566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
7	6	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8	7	alrimiv 1960	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
9	8	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
10	9	alrimiv 1960	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
11		dffun2 6550	. 2 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑥(⇝𝑡‘𝐽)𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
12	2, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  Rel wrel 5668  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  ⇝_𝑡clm 23412  Hauscha 23494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-z 12603  df-uz 12874  df-top 23080  df-topon 23097  df-lm 23415  df-haus 23501

This theorem is used by:  hausmapdom  23686  lmcau  25501  minvecolem4a  31258  minvecolem4b  31259  minvecolem4  31261  hlimf  31618  heiborlem9  38503  bfplem1  38506  xlimfun  46602