Theorem lspprid2 19889

Description: A member of a pair of vectors belongs to their span. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprid.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprid.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprid.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprid2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprid.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspprid.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspprid.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprid.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lspprid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspprid1 19888	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
7		prcom 4623	. . 3 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {𝑋, 𝑌}
8	7	fveq2i 6677	. 2 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌})
9	6, 8	eleqtrdi 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4518  ‘cfv 6339  Basecbs 16586  LModclmod 19753  LSpanclspn 19862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863

This theorem is referenced by:  lspprvacl  19890  dvh3dim2  39085  dvh3dim3N  39086  mapdh9a  39426  hdmapval0  39470  hdmapval3lemN  39474  hdmap10lem  39476  hdmap11lem2  39479