fourierdlem68 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem68 44405

Description: The derivative of 𝑂 is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem68.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem68.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem68.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem68.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem68.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem68.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem68.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem68.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem68.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
fourierdlem68.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
fourierdlem68.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem68.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem68	⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏,𝑠 𝑡,𝐴,𝑠 𝐵,𝑏,𝑠 𝑡,𝐵 𝐶,𝑏,𝑠 𝐷,𝑏,𝑠 𝑡,𝐷 𝐸,𝑏,𝑠 𝑡,𝐸 𝐹,𝑏,𝑠 𝑡,𝐹 𝑋,𝑏,𝑠 𝑡,𝑋 𝜑,𝑏,𝑠 𝜑,𝑡 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑡) 𝑂(𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem68 Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6		ioossicc 13350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
8	6, 7	sstrid 3955	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	6	sseli 3940	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	9, 10	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 44394	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
15	14	simpli 484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
16	15	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
17	16	fdmd 6679	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))
19		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
20	3, 4, 19	ltled 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		2re 12227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
23	3, 4	iccssred 13351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24	23	sselda 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
25	24	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 / 2) ∈ ℝ)
26	25	resincld 16025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℝ)
27	22, 26	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ)
28		2cnd 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
29	26	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℂ)
30		2ne0 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ≠ 0)
32	7	sselda 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
33		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 0 ↔ 0 = 𝑡)
34	33	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 → 0 = 𝑡)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 = 𝑡)
36		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	35, 36	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	37	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
40	38, 39	pm2.65da 815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑡 = 0)
41	40	neqned 2950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ≠ 0)
42		fourierdlem44 44382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
43	32, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
44	28, 29, 31, 43	mulne0d 11807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0)
45		eldifsn 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0))
46	27, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}))
47	46, 18	fmptd 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
48		difss 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
49		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
50	48, 49	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
52	23, 49	sstrdi 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
53		2cnd 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
54		ssid 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
56	52, 53, 55	constcncfg 44103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
57		sincn 25803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59	52, 55	idcncfg 44104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
60		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
61	28, 31, 60	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
62		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2)
63	61, 62	fmptd 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
64		difssd 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
65		cncfcdm 24261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
66	64, 56, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
67	63, 66	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
68	59, 67	divcncf 24811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
69	58, 68	cncfmpt1f 24277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70	56, 69	mulcncf 24810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
71		cncfcdm 24261	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
72	51, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
73	47, 72	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
74	18, 3, 4, 20, 73	cncficcgt0 44119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))
75		reelprrecn 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
77	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
78	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
79		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
81	78, 80	readdcld 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82	77, 81	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
83	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
84	82, 83	resubcld 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
86	85	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
87	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
88	82	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
89	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
90	2, 3	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
91	90	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
93	2, 4	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
94	93	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
96	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
97	96	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
98	4	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
100		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
101		ioogtlb 43723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
102	97, 99, 100, 101	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
103	96, 80, 78, 102	ltadd2dd 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
104	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
105		iooltub 43738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
106	97, 99, 100, 105	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
107	80, 104, 78, 106	ltadd2dd 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
108	92, 95, 81, 103, 107	eliood 43726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
109	89, 108	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
110		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
111	1, 2, 3, 4, 110, 5	fourierdlem28 44366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
112	83	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
113		0red 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
114		iooretop 24129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
115		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
116	115	tgioo2 24166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
117	114, 116	eleqtri 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
119	12	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
120	87, 118, 119	dvmptconst 44146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
121	87, 88, 109, 111, 112, 113, 120	dvmptsub 25331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
122	109	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
123	122	subid1d 11501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
124	123	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
125	121, 124	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
126	125	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
127	122	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
128		2cnd 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
129	79	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
130	129	halfcld 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
131	130	sincld 16012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
132	128, 131	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
133	132	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
134		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
135	134	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
136		1re 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
137	21, 136	remulcli 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
138	137	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (2 · 1) ∈ ℝ)
139		1red 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 1 ∈ ℝ)
140		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
141	119	abscld 15321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
142	140, 141	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
143	142	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
144		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝜑)
145	144, 108	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
146		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
147	146	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
148		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
149	148	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
150	149	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
151	147, 150	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)))
152		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
153	151, 152	vtoclg 3525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
154	81, 145, 153	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
155	154	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
156	128, 131	absmuld 15339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))))
157		0le2 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
158		absid 15181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
159	21, 157, 158	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘2) = 2
160	159	oveq1i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) = (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))))
161	131	abscld 15321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
162		1red 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 1 ∈ ℝ)
163	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℝ)
164	157	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 2)
165	79	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
166		abssinbd 43519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
167	165, 166	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
168	161, 162, 163, 164, 167	lemul2ad 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
169	160, 168	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
170	156, 169	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
171	170	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
172		abscosbd 43502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
173	100, 165, 172	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
174	173	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
175	85	abscld 15321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
176	88	abscld 15321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ℝ)
177	112	abscld 15321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
178	176, 177	readdcld 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
179	140	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
180	179, 177	readdcld 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
181	88, 112	abs2dif2d 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)))
182		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
183	182	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) = (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
184	183	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
185	147, 184	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)))
186		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
187	185, 186	vtoclg 3525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
188	108, 145, 187	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)
189	176, 179, 177, 188	leadd1dd 11769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
190	175, 178, 180, 181, 189	letrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
191	190	3ad2antl1 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
192	14	simpri 486	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
193	192	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
194	130	coscld 16013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
195	194	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
196		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝑐 ∈ ℝ⁺)
197		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
198	197	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
199	198	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
200	199	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
201	200	breq2d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
202	201	cbvralvw 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
203		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
204		nfra1 3267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
205	203, 204	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
206		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
207	6, 100	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
208	207	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
209		rspa 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
210	206, 208, 209	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
211	210	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
212	205, 211	ralrimi 3240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
213	202, 212	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
214	213	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
215		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
216	76, 86, 126, 127, 133, 135, 138, 139, 143, 155, 171, 174, 191, 193, 195, 196, 214, 215	dvdivbd 44154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
217	216	rexlimdv3a 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
218	74, 217	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
219		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
220		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 D
221		nfmpt1 5213	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
222	13, 221	nfcxfr 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑂
223	219, 220, 222	nfov 7387	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D 𝑂)
224	223	nfdm 5906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
225		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐴(,)𝐵)
226	224, 225	raleqf 3328	. . . . . 6 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
227	17, 226	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
228	227	rexbidv 3175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
229	218, 228	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
230	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
231	230	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
232	231	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
233	232	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
234	233	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
235	234	rexralbidv 3214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
236	229, 235	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
237	17, 236	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 ∖ cdif 3907 ⊆ wss 3910 {csn 4586 {cpr 4588 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 dom cdm 5633 ran crn 5634 ↾ cres 5635 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 / cdiv 11812 2c2 12208 ℝ⁺crp 12915 (,)cioo 13264 [,]cicc 13267 ↑cexp 13967 abscabs 15119 sincsin 15946 cosccos 15947 πcpi 15949 ↾_t crest 17302 TopOpenctopn 17303 topGenctg 17319 ℂ_fldccnfld 20796 –cn→ccncf 24239 D cdv 25227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ioc 13269 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fac 14174 df-bc 14203 df-hash 14231 df-shft 14952 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-ef 15950 df-sin 15952 df-cos 15953 df-pi 15955 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-t1 22665 df-haus 22666 df-cmp 22738 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231

This theorem is referenced by: fourierdlem80 44417

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