Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem68 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem68 41028
Description: The derivative of 𝑂 is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem68.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem68.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem68.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem68.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem68.ab (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem68.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem68.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem68.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fbd ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝐷)
fourierdlem68.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fdvbd ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
fourierdlem68.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem68.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68 (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑠   𝑡,𝐴,𝑠   𝐵,𝑏,𝑠   𝑡,𝐵   𝐶,𝑏,𝑠   𝐷,𝑏,𝑠   𝑡,𝐷   𝐸,𝑏,𝑠   𝑡,𝐸   𝐹,𝑏,𝑠   𝑡,𝐹   𝑋,𝑏,𝑠   𝑡,𝑋   𝜑,𝑏,𝑠   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem68.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem68.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6 ioossicc 12461 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
86, 7syl5ss 3772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
106sseli 3757 . . . . . . 7 (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
119, 10nsyl 137 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12 fourierdlem68.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
13 fourierdlem68.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 41017 . . . . 5 ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
1514simpli 476 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
1615simpld 488 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
1716fdmd 6232 . 2 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵))
18 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))
19 fourierdlem68.altb . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
203, 4, 19ltled 10439 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
21 2re 11346 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
233, 4iccssred 40369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2423sselda 3761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
2524rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 / 2) ∈ ℝ)
2625resincld 15155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℝ)
2722, 26remulcld 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ)
28 2cnd 11350 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
2926recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℂ)
30 2ne0 11383 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ≠ 0)
327sselda 3761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
33 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 0 ↔ 0 = 𝑡)
3433biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 0 → 0 = 𝑡)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 = 𝑡)
36 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3735, 36eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3837adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
399ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4038, 39pm2.65da 851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑡 = 0)
4140neqned 2944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ≠ 0)
42 fourierdlem44 41005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
4332, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
4428, 29, 31, 43mulne0d 10933 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0)
45 eldifsn 4472 . . . . . . . . 9 ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0))
4627, 44, 45sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}))
4746, 18fmptd 6574 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
48 difss 3899 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
49 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
5048, 49sstri 3770 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
5223, 49syl6ss 3773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
53 2cnd 11350 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
54 ssid 3783 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5652, 53, 55constcncfg 40722 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
57 sincn 24489 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5952, 55idcncfg 40723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
60 eldifsn 4472 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6128, 31, 60sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
62 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2)
6361, 62fmptd 6574 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
64 difssd 3900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
65 cncffvrn 22980 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
6664, 56, 65syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
6763, 66mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
6859, 67divcncf 23505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
6958, 68cncfmpt1f 22995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7056, 69mulcncf 23504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
71 cncffvrn 22980 . . . . . . . 8 (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
7251, 70, 71syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
7347, 72mpbird 248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
7418, 3, 4, 20, 73cncficcgt0 40739 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))
75 reelprrecn 10281 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
771adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
782adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
79 elioore 12407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
8079adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
8178, 80readdcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
8277, 81ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
8312adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
8482, 83resubcld 10712 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
8584recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
86853ad2antl1 1236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
8775a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8882recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
895adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
902, 3readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
9190rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
932, 4readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
9493rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
963adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9796rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
984rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
100 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
101 ioogtlb 40359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
10297, 99, 100, 101syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
10396, 80, 78, 102ltadd2dd 10450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
1044adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
105 iooltub 40375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
10697, 99, 100, 105syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
10780, 104, 78, 106ltadd2dd 10450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
10892, 95, 81, 103, 107eliood 40362 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
10989, 108ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
110 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
1111, 2, 3, 4, 110, 5fourierdlem28 40989 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
11283recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
113 0red 10297 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
114 iooretop 22848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
115 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
116115tgioo2 22885 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
117114, 116eleqtri 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
11912recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
12087, 118, 119dvmptconst 40767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
12187, 88, 109, 111, 112, 113, 120dvmptsub 24021 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
122109recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
123122subid1d 10635 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
124123mpteq2dva 4903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
125121, 124eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
1261253ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
1271223ad2antl1 1236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
128 2cnd 11350 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
12979recnd 10322 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
130129halfcld 11523 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
131130sincld 15142 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
132128, 131mulcld 10314 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
133132adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
134 fourierdlem68.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
136 1re 10293 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13721, 136remulcli 10310 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (2 · 1) ∈ ℝ)
139 1red 10294 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 1 ∈ ℝ)
140 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
141119abscld 14460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 10323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1431423ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
144 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝜑)
145144, 108jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
146 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
147146anbi2d 622 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
148 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
149148fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
150149breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
151147, 150imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)))
152 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
153151, 152vtoclg 3418 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
15481, 145, 153sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
1551543ad2antl1 1236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
156128, 131absmuld 14478 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))))
157 0le2 11381 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
158 absid 14321 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
15921, 157, 158mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (abs‘2) = 2
160159oveq1i 6852 . . . . . . . . . 10 ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) = (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))))
161131abscld 14460 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
162 1red 10294 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 1 ∈ ℝ)
16321a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℝ)
164157a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 2)
16579rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
166 abssinbd 40148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
167165, 166syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
168161, 162, 163, 164, 167lemul2ad 11218 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
169160, 168syl5eqbr 4844 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
170156, 169eqbrtrd 4831 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
171170adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
172 abscosbd 40130 . . . . . . . . 9 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
173100, 165, 1723syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
1741733ad2antl1 1236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
17585abscld 14460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
17688abscld 14460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ℝ)
177112abscld 14460 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
178176, 177readdcld 10323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
179140adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
180179, 177readdcld 10323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
18188, 112abs2dif2d 14482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)))
182 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
183182fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘(𝐹𝑡)) = (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
184183breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝐷 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
185147, 184imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)))
186 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹𝑡)) ≤ 𝐷)
187185, 186vtoclg 3418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
188108, 145, 187sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)
189176, 179, 177, 188leadd1dd 10895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
190175, 178, 180, 181, 189letrd 10448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
1911903ad2antl1 1236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
19214simpri 479 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
193192a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
194130coscld 15143 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
195194adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
196 simp2 1167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝑐 ∈ ℝ+)
197 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
198197fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
199198oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
200199fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
201200breq2d 4821 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑠 → (𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
202201cbvralv 3319 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
203 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑠𝜑
204 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑠𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
205203, 204nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
206 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
2076, 100sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
208207adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
209 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
210206, 208, 209syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
211210ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
212205, 211ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
213202, 212sylan2b 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
2142133adant2 1161 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
215 eqid 2765 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
21676, 86, 126, 127, 133, 135, 138, 139, 143, 155, 171, 174, 191, 193, 195, 196, 214, 215dvdivbd 40776 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
217216rexlimdv3a 3180 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
21874, 217mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
219 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑠
220 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑠 D
221 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . 10 𝑠(𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
22213, 221nfcxfr 2905 . . . . . . . . 9 𝑠𝑂
223219, 220, 222nfov 6872 . . . . . . . 8 𝑠(ℝ D 𝑂)
224223nfdm 5536 . . . . . . 7 𝑠dom (ℝ D 𝑂)
225 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑠(𝐴(,)𝐵)
226224, 225raleqf 3282 . . . . . 6 (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
22717, 226syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
228227rexbidv 3199 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
229218, 228mpbird 248 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
23013a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
231230oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
232231fveq1d 6377 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
233232fveq2d 6379 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
234233breq1d 4819 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
235234rexralbidv 3205 . . 3 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
236229, 235mpbird 248 . 2 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
23717, 236jca 507 1 (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3729  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  cexp 13067  abscabs 14259  sincsin 15076  cosccos 15077  πcpi 15079  t crest 16347  TopOpenctopn 16348  topGenctg 16364  fldccnfld 20019  cnccncf 22958   D cdv 23918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fourierdlem80  41040
  Copyright terms: Public domain W3C validator