Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem68 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem68 44501
Description: The derivative of 𝑂 is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem68.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem68.xre (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem68.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem68.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem68.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
fourierdlem68.ab (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
fourierdlem68.n0 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
fourierdlem68.fdv (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
fourierdlem68.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fbd ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝐷)
fourierdlem68.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fdvbd ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝐸)
fourierdlem68.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem68.o 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem68 (πœ‘ β†’ (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑠   𝑑,𝐴,𝑠   𝐡,𝑏,𝑠   𝑑,𝐡   𝐢,𝑏,𝑠   𝐷,𝑏,𝑠   𝑑,𝐷   𝐸,𝑏,𝑠   𝑑,𝐸   𝐹,𝑏,𝑠   𝑑,𝐹   𝑋,𝑏,𝑠   𝑑,𝑋   πœ‘,𝑏,𝑠   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑑)   𝑂(𝑑,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem68
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem68.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourierdlem68.xre . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem68.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem68.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 fourierdlem68.fdv . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
6 ioossicc 13356 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7 fourierdlem68.ab . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
86, 7sstrid 3956 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
9 fourierdlem68.n0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
106sseli 3941 . . . . . . 7 (0 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
119, 10nsyl 140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐡))
12 fourierdlem68.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
13 fourierdlem68.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13fourierdlem57 44490 . . . . 5 ((πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
1514simpli 485 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) βˆ’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) / ((2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))↑2)))))
1615simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
1716fdmd 6680 . 2 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐡))
18 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))
19 fourierdlem68.altb . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
203, 4, 19ltled 11308 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
21 2re 12232 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 2 ∈ ℝ)
233, 4iccssred 13357 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
2423sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
2524rehalfcld 12405 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
2625resincld 16030 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) ∈ ℝ)
2722, 26remulcld 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) ∈ ℝ)
28 2cnd 12236 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
2926recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) ∈ β„‚)
30 2ne0 12262 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
327sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
33 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 0 ↔ 0 = 𝑑)
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 0 β†’ 0 = 𝑑)
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑑 = 0) β†’ 0 = 𝑑)
36 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑑 = 0) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3735, 36eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑑 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3837adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 = 0) β†’ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
399ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ 𝑑 = 0) β†’ Β¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4038, 39pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ Β¬ 𝑑 = 0)
4140neqned 2947 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 β‰  0)
42 fourierdlem44 44478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑑 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) β‰  0)
4332, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) β‰  0)
4428, 29, 31, 43mulne0d 11812 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) β‰  0)
45 eldifsn 4748 . . . . . . . . 9 ((2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) ∈ ℝ ∧ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) β‰  0))
4627, 44, 45sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
4746, 18fmptd 7063 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))):(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0}))
48 difss 4092 . . . . . . . . . 10 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† ℝ
49 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
5048, 49sstri 3954 . . . . . . . . 9 (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
5223, 49sstrdi 3957 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
53 2cnd 12236 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
54 ssid 3967 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
5652, 53, 55constcncfg 44199 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
57 sincn 25819 . . . . . . . . . . 11 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
5952, 55idcncfg 44200 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑑) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
60 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
6128, 31, 60sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 2 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2)
6361, 62fmptd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2):(𝐴[,]𝐡)⟢(β„‚ βˆ– {0}))
64 difssd 4093 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
65 cncfcdm 24277 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2):(𝐴[,]𝐡)⟢(β„‚ βˆ– {0})))
6664, 56, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2):(𝐴[,]𝐡)⟢(β„‚ βˆ– {0})))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(β„‚ βˆ– {0})))
6859, 67divcncf 24827 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
6958, 68cncfmpt1f 24293 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (sinβ€˜(𝑑 / 2))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
7056, 69mulcncf 24826 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
71 cncfcdm 24277 . . . . . . . 8 (((ℝ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))):(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0})))
7251, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})) ↔ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))):(𝐴[,]𝐡)⟢(ℝ βˆ– {0})))
7347, 72mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’(ℝ βˆ– {0})))
7418, 3, 4, 20, 73cncficcgt0 44215 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))))
75 reelprrecn 11148 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
771adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
782adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
79 elioore 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8079adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8178, 80readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
8277, 81ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
8312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
8482, 83resubcld 11588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ ℝ)
8584recnd 11188 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
86853ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8775a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8882recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
895adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
902, 3readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
9190rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
932, 4readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ)
9493rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
963adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9796rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
984rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
9998adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
100 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
101 ioogtlb 43819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
10297, 99, 100, 101syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
10396, 80, 78, 102ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
1044adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
105 iooltub 43834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
10697, 99, 100, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
10780, 104, 78, 106ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
10892, 95, 81, 103, 107eliood 43822 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))
10989, 108ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
110 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
1111, 2, 3, 4, 110, 5fourierdlem28 44462 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
11283recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
113 0red 11163 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
114 iooretop 24145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
116115tgioo2 24182 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
117114, 116eleqtri 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
11912recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
12087, 118, 119dvmptconst 44242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝐢)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
12187, 88, 109, 111, 112, 113, 120dvmptsub 25347 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)))
122109recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
123122subid1d 11506 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
124123mpteq2dva 5206 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
125121, 124eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
1261253ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
1271223ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
128 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 ∈ β„‚)
12979recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
130129halfcld 12403 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
131130sincld 16017 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
132128, 131mulcld 11180 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
133132adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
134 fourierdlem68.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1351343ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
136 1re 11160 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13721, 136remulcli 11176 . . . . . . . 8 (2 Β· 1) ∈ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
139 1red 11161 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ 1 ∈ ℝ)
140 fourierdlem68.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
141119abscld 15327 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 11189 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
1431423ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
144 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ πœ‘)
145144, 108jca 513 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
146 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
147146anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))))
148 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠)))
149148fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘)) = (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))))
150149breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐸))
151147, 150imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝐸) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐸)))
152 fourierdlem68.fdvbd . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜π‘‘)) ≀ 𝐸)
153151, 152vtoclg 3524 . . . . . . . . 9 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐸))
15481, 145, 153sylc 65 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐸)
1551543ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))β€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐸)
156128, 131absmuld 15345 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((absβ€˜2) Β· (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
157 0le2 12260 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 2
158 absid 15187 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2) β†’ (absβ€˜2) = 2)
15921, 157, 158mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (absβ€˜2) = 2
160159oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜2) Β· (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (2 Β· (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2))))
161131abscld 15327 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
162 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 1 ∈ ℝ)
16321a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 ∈ ℝ)
164157a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 0 ≀ 2)
16579rehalfcld 12405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
166 abssinbd 43616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2))) ≀ 1)
167165, 166syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2))) ≀ 1)
168161, 162, 163, 164, 167lemul2ad 12100 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (2 Β· (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ≀ (2 Β· 1))
169160, 168eqbrtrid 5141 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((absβ€˜2) Β· (absβ€˜(sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ≀ (2 Β· 1))
170156, 169eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ≀ (2 Β· 1))
171170adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ≀ (2 Β· 1))
172 abscosbd 43599 . . . . . . . . 9 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(𝑠 / 2))) ≀ 1)
173100, 165, 1723syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(𝑠 / 2))) ≀ 1)
1741733ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(cosβ€˜(𝑠 / 2))) ≀ 1)
17585abscld 15327 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
17688abscld 15327 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ ℝ)
177112abscld 15327 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
178176, 177readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
179140adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
180179, 177readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)) ∈ ℝ)
18188, 112abs2dif2d 15349 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) + (absβ€˜πΆ)))
182 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
183182fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
184183breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝐷 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐷))
185147, 184imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝐷) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐷)))
186 fourierdlem68.fbd . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ 𝐷)
187185, 186vtoclg 3524 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐷))
188108, 145, 187sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ≀ 𝐷)
189176, 179, 177, 188leadd1dd 11774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) + (absβ€˜πΆ)) ≀ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)))
190175, 178, 180, 181, 189letrd 11317 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)))
1911903ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢)) ≀ (𝐷 + (absβ€˜πΆ)))
19214simpri 487 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
193192a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (cosβ€˜(𝑠 / 2))))
194130coscld 16018 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
195194adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
196 simp2 1138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
197 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑑 / 2) = (𝑠 / 2))
198197fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑠 β†’ (sinβ€˜(𝑑 / 2)) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
199198oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑠 β†’ (2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
200199fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑠 β†’ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) = (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
201200breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑠 β†’ (𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ↔ 𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
202201cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
203 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘ πœ‘
204 nfra1 3266 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
205203, 204nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠(πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
206 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
2076, 100sselid 3943 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
208207adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
209 rspa 3230 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
210206, 208, 209syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
211210ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
212205, 211ralrimi 3239 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
213202, 212sylan2b 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
2142133adant2 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
215 eqid 2733 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
21676, 86, 126, 127, 133, 135, 138, 139, 143, 155, 171, 174, 191, 193, 195, 196, 214, 215dvdivbd 44250 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
217216rexlimdv3a 3153 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑐 ≀ (absβ€˜(2 Β· (sinβ€˜(𝑑 / 2)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
21874, 217mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
219 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠ℝ
220 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠 D
221 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
22213, 221nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠𝑂
223219, 220, 222nfov 7388 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠(ℝ D 𝑂)
224223nfdm 5907 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
225 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠(𝐴(,)𝐡)
226224, 225raleqf 3327 . . . . . 6 (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
22717, 226syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
228227rexbidv 3172 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
229218, 228mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
23013a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
231230oveq2d 7374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
232231fveq1d 6845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ ) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ ))
233232fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) = (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )))
234233breq1d 5116 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
235234rexralbidv 3211 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ 𝐢) / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
236229, 235mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
23717, 236jca 513 1 (πœ‘ β†’ (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ dom (ℝ D 𝑂)(absβ€˜((ℝ D 𝑂)β€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  β†‘cexp 13973  abscabs 15125  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  β„‚fldccnfld 20812  β€“cnβ†’ccncf 24255   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  fourierdlem80  44513
  Copyright terms: Public domain W3C validator