fourierdlem68 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem68 46745

Description: The derivative of 𝑂 is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem68.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem68.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem68.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem68.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem68.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem68.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem68.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem68.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem68.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
fourierdlem68.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
fourierdlem68.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem68.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem68	⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏,𝑠 𝑡,𝐴,𝑠 𝐵,𝑏,𝑠 𝑡,𝐵 𝐶,𝑏,𝑠 𝐷,𝑏,𝑠 𝑡,𝐷 𝐸,𝑏,𝑠 𝑡,𝐸 𝐹,𝑏,𝑠 𝑡,𝐹 𝑋,𝑏,𝑠 𝑡,𝑋 𝜑,𝑏,𝑠 𝜑,𝑡 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑡) 𝑂(𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem68 Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6		ioossicc 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
8	6, 7	sstrid 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	6	sseli 3932	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	9, 10	nsyl 140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 46734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
15	14	simpli 487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
16	15	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
17	16	fdmd 6702	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵))
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))
19		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
20	3, 4, 19	ltled 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		2re 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
23	3, 4	iccssred 13438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
24	23	sselda 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
25	24	rehalfcld 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 / 2) ∈ ℝ)
26	25	resincld 16175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℝ)
27	22, 26	remulcld 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ)
28		2cnd 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
29	26	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℂ)
30		2ne0 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ≠ 0)
32	7	sselda 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
33		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 ↔ 0 = 𝑡)
34	33	bilani 508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 = 𝑡)
35		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36	34, 35	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	36	adantll 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	9	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	37, 38	pm2.65da 826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑡 = 0)
40	39	neqned 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ≠ 0)
41		fourierdlem44 46722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
42	32, 40, 41	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
43	28, 29, 31, 42	mulne0d 11839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0)
44		eldifsn 4746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0))
45	27, 43, 44	sylanbrc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}))
46	45, 18	fmptd 7095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
47		difss 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
48		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
49	47, 48	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
51	23, 48	sstrdi 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
52		2cnd 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		ssid 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
55	51, 52, 54	constcncfg 46443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
56		sincn 26504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
58	51, 54	idcncfg 46444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
59		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
60	28, 31, 59	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
61		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2)
62	60, 61	fmptd 7095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
63		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
64		cncfcdm 24957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
65	63, 55, 64	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
66	62, 65	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
67	58, 66	divcncf 25506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
68	57, 67	cncfmpt1f 24973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
69	55, 68	mulcncf 25505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70		cncfcdm 24957	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
71	50, 69, 70	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
72	46, 71	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
73	18, 3, 4, 20, 72	cncficcgt0 46459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))
74		reelprrecn 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
76	1	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
77	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
78		elioore 13379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
79	78	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
80	77, 79	readdcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
81	76, 80	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
82	12	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
83	81, 82	resubcld 11615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
85	84	3ad2antl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
86	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
87	81	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
88	5	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
89	2, 3	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
90	89	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
92	2, 4	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
93	92	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
95	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
96	95	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
97	4	rexrd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
98	97	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
99		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
100		ioogtlb 46068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
101	96, 98, 99, 100	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
102	95, 79, 77, 101	ltadd2dd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
103	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
104		iooltub 46083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
105	96, 98, 99, 104	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
106	79, 103, 77, 105	ltadd2dd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
107	91, 94, 80, 102, 106	eliood 46071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
108	88, 107	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
109		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
110	1, 2, 3, 4, 109, 5	fourierdlem28 46706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
111	82	recnd 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
112		0red 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
113		iooretop 24822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
114		tgioo4 24862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
115	113, 114	eleqtri 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
117	12	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
118	86, 116, 117	dvmptconst 46486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
119	86, 87, 108, 110, 111, 112, 118	dvmptsub 26026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
120	108	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
121	120	subid1d 11531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
122	121	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
123	119, 122	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
124	123	3ad2ant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
125	120	3ad2antl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
126		2cnd 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
127	78	recnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
128	127	halfcld 12466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
129	128	sincld 16162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
130	126, 129	mulcld 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
131	130	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
132		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
133	132	3ad2ant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
134		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
135	21, 134	remulcli 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
136	135	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (2 · 1) ∈ ℝ)
137		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 1 ∈ ℝ)
138		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
139	117	abscld 15466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
140	138, 139	readdcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
141	140	3ad2ant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
142		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝜑)
143	142, 107	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
144		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
145	144	anbi2d 639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
146		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
147	146	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
148	147	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
149	145, 148	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)))
150		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
151	149, 150	vtoclg 3522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
152	80, 143, 151	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
153	152	3ad2antl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
154	126, 129	absmuld 15484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))))
155		0le2 12320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
156		absid 15323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
157	21, 155, 156	mp2an 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘2) = 2
158	157	oveq1i 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) = (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))))
159	129	abscld 15466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
160		1red 11182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 1 ∈ ℝ)
161	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℝ)
162	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 2)
163	78	rehalfcld 12468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
164		abssinbd 45871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
166	159, 160, 161, 162, 165	lemul2ad 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
167	158, 166	eqbrtrid 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
168	154, 167	eqbrtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
169	168	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
170		abscosbd 45855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
171	99, 163, 170	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
172	171	3ad2antl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
173	84	abscld 15466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
174	87	abscld 15466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ℝ)
175	111	abscld 15466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
176	174, 175	readdcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
177	138	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
178	177, 175	readdcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
179	87, 111	abs2dif2d 15488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)))
180		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
181	180	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) = (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
182	181	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
183	145, 182	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)))
184		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
185	183, 184	vtoclg 3522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
186	107, 143, 185	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)
187	174, 177, 175, 186	leadd1dd 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
188	173, 176, 178, 179, 187	letrd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
189	188	3ad2antl1 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
190	14	simpri 489	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
191	190	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
192	128	coscld 16163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
193	192	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
194		simp2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝑐 ∈ ℝ⁺)
195		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
196	195	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
197	196	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
198	197	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
199	198	breq2d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
200	199	cbvralvw 3240	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
201		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
202		nfra1 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
203	201, 202	nfan 1919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
204		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
205	6, 99	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
206	205	adantlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
207		rspa 3251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
208	204, 206, 207	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
209	208	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
210	203, 209	ralrimi 3260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
211	200, 210	sylan2b 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
212	211	3adant2 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
213		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
214	75, 85, 124, 125, 131, 133, 136, 137, 141, 153, 169, 172, 189, 191, 193, 194, 212, 213	dvdivbd 46494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
215	214	rexlimdv3a 3167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
216	73, 215	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
217		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
218		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 D
219		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
220	13, 219	nfcxfr 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑂
221	217, 218, 220	nfov 7426	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D 𝑂)
222	221	nfdm 5927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
223		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐴(,)𝐵)
224	222, 223	raleqf 3343	. . . . . 6 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
225	17, 224	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
226	225	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
227	216, 226	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
228	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
229	228	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
230	229	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
231	230	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
232	231	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
233	232	rexralbidv 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
234	227, 233	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
235	17, 234	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 ∖ cdif 3901 ⊆ wss 3904 {csn 4582 {cpr 4584 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 dom cdm 5647 ran crn 5648 ↾ cres 5649 ⟶wf 6517 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 ℝ^*cxr 11215 < clt 11216 ≤ cle 11217 − cmin 11414 -cneg 11415 / cdiv 11844 2c2 12272 ℝ⁺crp 12993 (,)cioo 13349 [,]cicc 13352 ↑cexp 14074 abscabs 15261 sincsin 16093 cosccos 16094 πcpi 16096 ↾_t crest 17449 TopOpenctopn 17450 topGenctg 17466 ℂ_fldccnfld 21421 –cn→ccncf 24935 D cdv 25922

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-sum 15714 df-ef 16097 df-sin 16099 df-cos 16100 df-pi 16102 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21413 df-xmet 21414 df-met 21415 df-bl 21416 df-mopn 21417 df-fbas 21418 df-fg 21419 df-cnfld 21422 df-top 22951 df-topon 22968 df-topsp 22990 df-bases 23003 df-cld 23076 df-ntr 23077 df-cls 23078 df-nei 23155 df-lp 23193 df-perf 23194 df-cn 23284 df-cnp 23285 df-t1 23371 df-haus 23372 df-cmp 23444 df-tx 23619 df-hmeo 23812 df-fil 23903 df-fm 23995 df-flim 23996 df-flf 23997 df-xms 24377 df-ms 24378 df-tms 24379 df-cncf 24937 df-limc 25925 df-dv 25926

This theorem is referenced by: fourierdlem80 46757

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