![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 2tnp1ge0ge0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
2tnp1ge0ge0 | โข (๐ โ โค โ (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ 0 โค ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2z 12540 | . . . . . . 7 โข 2 โ โค | |
2 | 1 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ 2 โ โค) |
3 | id 22 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โค) | |
4 | 2, 3 | zmulcld 12618 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ๐) โ โค) |
5 | 4 | peano2zd 12615 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ ((2 ยท ๐) + 1) โ โค) |
6 | 5 | zred 12612 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ((2 ยท ๐) + 1) โ โ) |
7 | 2rp 12925 | . . . 4 โข 2 โ โ+ | |
8 | 7 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ โค โ 2 โ โ+) |
9 | 6, 8 | ge0divd 13000 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ 0 โค (((2 ยท ๐) + 1) / 2))) |
10 | 4 | zcnd 12613 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (2 ยท ๐) โ โ) |
11 | 1cnd 11155 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ 1 โ โ) | |
12 | 2cnne0 12368 | . . . . . 6 โข (2 โ โ โง 2 โ 0) | |
13 | 12 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (2 โ โ โง 2 โ 0)) |
14 | divdir 11843 | . . . . 5 โข (((2 ยท ๐) โ โ โง 1 โ โ โง (2 โ โ โง 2 โ 0)) โ (((2 ยท ๐) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐) / 2) + (1 / 2))) | |
15 | 10, 11, 13, 14 | syl3anc 1372 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (((2 ยท ๐) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐) / 2) + (1 / 2))) |
16 | zcn 12509 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
17 | 2cnd 12236 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ 2 โ โ) | |
18 | 2ne0 12262 | . . . . . . 7 โข 2 โ 0 | |
19 | 18 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ 2 โ 0) |
20 | 16, 17, 19 | divcan3d 11941 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ ((2 ยท ๐) / 2) = ๐) |
21 | 20 | oveq1d 7373 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (((2 ยท ๐) / 2) + (1 / 2)) = (๐ + (1 / 2))) |
22 | 15, 21 | eqtrd 2773 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (((2 ยท ๐) + 1) / 2) = (๐ + (1 / 2))) |
23 | 22 | breq2d 5118 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 โค (((2 ยท ๐) + 1) / 2) โ 0 โค (๐ + (1 / 2)))) |
24 | zre 12508 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
25 | halfre 12372 | . . . . 5 โข (1 / 2) โ โ | |
26 | 25 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (1 / 2) โ โ) |
27 | 24, 26 | readdcld 11189 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (๐ + (1 / 2)) โ โ) |
28 | halfge0 12375 | . . . 4 โข 0 โค (1 / 2) | |
29 | 24, 26 | addge01d 11748 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (0 โค (1 / 2) โ ๐ โค (๐ + (1 / 2)))) |
30 | 28, 29 | mpbii 232 | . . 3 โข (๐ โ โค โ ๐ โค (๐ + (1 / 2))) |
31 | 1red 11161 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ 1 โ โ) | |
32 | halflt1 12376 | . . . . 5 โข (1 / 2) < 1 | |
33 | 32 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ (1 / 2) < 1) |
34 | 26, 31, 24, 33 | ltadd2dd 11319 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (๐ + (1 / 2)) < (๐ + 1)) |
35 | btwnzge0 13739 | . . 3 โข ((((๐ + (1 / 2)) โ โ โง ๐ โ โค) โง (๐ โค (๐ + (1 / 2)) โง (๐ + (1 / 2)) < (๐ + 1))) โ (0 โค (๐ + (1 / 2)) โ 0 โค ๐)) | |
36 | 27, 3, 30, 34, 35 | syl22anc 838 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 โค (๐ + (1 / 2)) โ 0 โค ๐)) |
37 | 9, 23, 36 | 3bitrd 305 | 1 โข (๐ โ โค โ (0 โค ((2 ยท ๐) + 1) โ 0 โค ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11054 โcr 11055 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 < clt 11194 โค cle 11195 / cdiv 11817 2c2 12213 โคcz 12504 โ+crp 12920 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 ax-pre-sup 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-sup 9383 df-inf 9384 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-div 11818 df-nn 12159 df-2 12221 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-rp 12921 df-fl 13703 |
This theorem is referenced by: oddnn02np1 16235 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |