MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 13740
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 12540 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
21a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3 id 22 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
42, 3zmulcld 12618 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
54peano2zd 12615 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„ค)
65zred 12612 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) + 1) โˆˆ โ„)
7 2rp 12925 . . . 4 2 โˆˆ โ„+
87a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
96, 8ge0divd 13000 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2)))
104zcnd 12613 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
11 1cnd 11155 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
12 2cnne0 12368 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
1312a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
14 divdir 11843 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)))
1510, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)))
16 zcn 12509 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
17 2cnd 12236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
18 2ne0 12262 . . . . . . 7 2 โ‰  0
1918a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
2016, 17, 19divcan3d 11941 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
2120oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘ + (1 / 2)))
2215, 21eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) = (๐‘ + (1 / 2)))
2322breq2d 5118 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (((2 ยท ๐‘) + 1) / 2) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2))))
24 zre 12508 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
25 halfre 12372 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
2724, 26readdcld 11189 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
28 halfge0 12375 . . . 4 0 โ‰ค (1 / 2)
2924, 26addge01d 11748 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (1 / 2) โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2))))
3028, 29mpbii 232 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)))
31 1red 11161 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
32 halflt1 12376 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3332a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) < 1)
3426, 31, 24, 33ltadd2dd 11319 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) < (๐‘ + 1))
35 btwnzge0 13739 . . 3 ((((๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โˆง (๐‘ + (1 / 2)) < (๐‘ + 1))) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
3627, 3, 30, 34, 35syl22anc 838 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ + (1 / 2)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
379, 23, 363bitrd 305 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  16235
  Copyright terms: Public domain W3C validator