MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2tnp1ge0ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2tnp1ge0ge0 13182
Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
2tnp1ge0ge0 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0
StepHypRef Expression
1 2z 11992 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 12071 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
54peano2zd 12068 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
65zred 12065 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7 2rp 12372 . . . 4 2 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
96, 8ge0divd 12447 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
104zcnd 12066 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11 1cnd 10613 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12 2cnne0 11825 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
14 divdir 11300 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
1510, 11, 13, 14syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
16 zcn 11964 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17 2cnd 11693 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18 2ne0 11719 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
2016, 17, 19divcan3d 11398 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
2120oveq1d 7145 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2215, 21eqtrd 2856 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2322breq2d 5051 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
24 zre 11963 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
25 halfre 11829 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
2724, 26readdcld 10647 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
28 halfge0 11832 . . . 4 0 ≤ (1 / 2)
2924, 26addge01d 11205 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
3028, 29mpbii 236 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
31 1red 10619 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
32 halflt1 11833 . . . . 5 (1 / 2) < 1
3332a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
3426, 31, 24, 33ltadd2dd 10776 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
35 btwnzge0 13181 . . 3 ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
3627, 3, 30, 34, 35syl22anc 837 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
379, 23, 363bitrd 308 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653   / cdiv 11274  2c2 11670  cz 11959  +crp 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fl 13145
This theorem is referenced by:  oddnn02np1  15676
  Copyright terms: Public domain W3C validator