Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem59 41887
Description: The derivative of 𝐻 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem59.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem59.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem59.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem59.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem59.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
fourierdlem59.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem59.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
43adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5 elioore 12584 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
65adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82, 7ffvelrnd 6677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10resubcld 10869 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
12 eqcom 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
1312biimpi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
1413adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
15 simpl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1716adantll 701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1918ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 19pm2.65da 804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
2120neqned 2974 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2211, 6, 21redivcld 11269 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
23 fourierdlem59.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2422, 23fmptd 6701 . . . 4 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25 ioossre 12614 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 24251 . . . 4 ((𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
2824, 26, 27syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
29 ovex 7008 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
31 eqidd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
32 eqidd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))
3330, 11, 6, 31, 32offval2 7244 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠)))
3433, 23syl6reqr 2833 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)))
3534oveq2d 6992 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))))
36 reelprrecn 10427 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3811recnd 10468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
39 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))
4038, 39fmptd 6701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
416recnd 10468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
42 eldifsn 4593 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0))
4341, 21, 42sylanbrc 575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)
4543, 44fmptd 6701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠):(𝐴(,)𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
46 eqidd 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
47 eqidd 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
4830, 8, 10, 46, 47offval2 7244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
4948eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)))
5049oveq2d 6992 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))))
518recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
52 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
5351, 52fmptd 6701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5410recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
55 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)
5654, 55fmptd 6701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
59 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
61 cncff 23204 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 41857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
64 ioosscn 41206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ)
66 ax-resscn 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6862, 67fssd 6358 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ)
69 ssid 3879 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
71 cncffvrn 23209 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7270, 60, 71syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7368, 72mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ))
74 ioosscn 41206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
763recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
773, 57readdcld 10469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
7877rexrd 10490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7978adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
803, 58readdcld 10469 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
8180rexrd 10490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8281adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8357adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8483rexrd 10490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8558rexrd 10490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8685adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 ioogtlb 41207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
8984, 86, 87, 88syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 10599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
9158adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
92 iooltub 41223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
9384, 86, 87, 92syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
946, 91, 4, 93ltadd2dd 10599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
9579, 82, 7, 90, 94eliood 41210 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 41852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9763, 96eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98 iooretop 23077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
99 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 23114 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10198, 100eleqtri 2864 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1039recnd 10468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10437, 102, 103dvmptconst 41635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
105 0cnd 10432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10675, 105, 70constcncfg 41590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107104, 106eqeltrd 2866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 41645 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10950, 108eqeltrd 2866 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11037, 102dvmptidg 41637 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
111 1cnd 10434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11275, 111, 70constcncfg 41590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
113110, 112eqeltrd 2866 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 41648 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11535, 114eqeltrd 2866 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116 cncff 23204 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
117 fdm 6352 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
119118feq2d 6330 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12028, 119mpbid 224 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
121 cncffvrn 23209 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12267, 115, 121syl2anc 576 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
123120, 122mpbird 249 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  Vcvv 3415  cdif 3826  wss 3829  {csn 4441  {cpr 4443   class class class wbr 4929  cmpt 5008  dom cdm 5407  ran crn 5408  cres 5409  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑓 cof 7225  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338  *cxr 10473   < clt 10474  cmin 10670   / cdiv 11098  (,)cioo 12554  t crest 16550  TopOpenctopn 16551  topGenctg 16567  fldccnfld 20247  cnccncf 23187   D cdv 24164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-t1 21626  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  41900
  Copyright terms: Public domain W3C validator