Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem59 44042
Description: The derivative of 𝐻 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem59.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem59.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem59.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem59.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem59.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
fourierdlem59.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem59.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5 elioore 13210 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 11105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82, 7ffvelcdmd 7018 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10resubcld 11504 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
12 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
1312biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
1413adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
15 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1716adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1918ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 19pm2.65da 814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
2120neqned 2947 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2211, 6, 21redivcld 11904 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
23 fourierdlem59.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2422, 23fmptd 7044 . . . 4 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25 ioossre 13241 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 25221 . . . 4 ((𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
2824, 26, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
29 ovex 7370 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
31 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
32 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))
3330, 11, 6, 31, 32offval2 7615 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘f / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠)))
3423, 33eqtr4id 2795 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘f / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)))
3534oveq2d 7353 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘f / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))))
36 reelprrecn 11064 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3811recnd 11104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
39 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))
4038, 39fmptd 7044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
416recnd 11104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
42 eldifsn 4734 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0))
4341, 21, 42sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)
4543, 44fmptd 7044 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠):(𝐴(,)𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
46 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
47 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
4830, 8, 10, 46, 47offval2 7615 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘f − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
4948eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘f − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)))
5049oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘f − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))))
518recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
52 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
5351, 52fmptd 7044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5410recnd 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
55 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)
5654, 55fmptd 7044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
61 cncff 24162 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 44012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
64 ioosscn 13242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ)
66 ax-resscn 11029 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6862, 67fssd 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ)
69 ssid 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
71 cncfcdm 24167 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7270, 60, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7368, 72mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ))
74 ioosscn 13242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
763recnd 11104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
773, 57readdcld 11105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
7877rexrd 11126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
803, 58readdcld 11105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
8180rexrd 11126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8357adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8483rexrd 11126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8558rexrd 11126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 ioogtlb 43369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
8984, 86, 87, 88syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
9158adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
92 iooltub 43384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
9384, 86, 87, 92syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
946, 91, 4, 93ltadd2dd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
9579, 82, 7, 90, 94eliood 43372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 44007 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9763, 96eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98 iooretop 24035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
99 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 24072 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10198, 100eleqtri 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1039recnd 11104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10437, 102, 103dvmptconst 43792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
105 0cnd 11069 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10675, 105, 70constcncfg 43749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107104, 106eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 43801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘f − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10950, 108eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11037, 102dvmptidg 43794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
111 1cnd 11071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11275, 111, 70constcncfg 43749 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
113110, 112eqeltrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 43804 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘f / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11535, 114eqeltrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116 cncff 24162 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
117 fdm 6660 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
119118feq2d 6637 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12028, 119mpbid 231 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
121 cncfcdm 24167 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12267, 115, 121syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
123120, 122mpbird 256 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  Vcvv 3441  cdif 3895  wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5092  cmpt 5175  dom cdm 5620  ran crn 5621  cres 5622  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  f cof 7593  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  *cxr 11109   < clt 11110  cmin 11306   / cdiv 11733  (,)cioo 13180  t crest 17228  TopOpenctopn 17229  topGenctg 17245  fldccnfld 20703  cnccncf 24145   D cdv 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-t1 22571  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  44055
  Copyright terms: Public domain W3C validator