Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem28 44624
Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem28.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem28 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11184 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 fourierdlem28.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem28.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 11225 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 11246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem28.3b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11225 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rexrd 11246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
123adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 13336 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 11225 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 11246 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 43981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 11355 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 iooltub 43996 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 11355 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
287, 11, 15, 23, 27eliood 43984 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29 1red 11197 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30 fourierdlem28.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32 elioore 13336 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33ffvelcdmd 7072 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3534recnd 11224 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
36 fourierdlem28.df . . . 4 (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3736ffvelcdmda 7071 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3812recnd 11224 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 0red 11199 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40 iooretop 24211 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 24248 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2830 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
453recnd 11224 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
462, 44, 45dvmptconst 44404 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
4714recnd 11224 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
482, 44dvmptidg 44406 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
492, 38, 39, 46, 47, 29, 48dvmptadd 25406 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
50 0p1e1 12316 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
5251mpteq2dva 5241 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5349, 52eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5430feqmptd 6946 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
5554reseq1d 5972 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
56 ioossre 13367 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
5857resmptd 6030 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)))
5955, 58eqtr2d 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6059oveq2d 7409 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
61 fourierdlem28.d . . . . . 6 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6261eqcomi 2740 . . . . 5 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
6436feqmptd 6946 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
6560, 63, 643eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
66 fveq2 6878 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
67 fveq2 6878 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
682, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67dvmptco 25418 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
6936adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
7069, 28ffvelcdmd 7072 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
7170recnd 11224 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
7271mulridd 11213 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
7372mpteq2dva 5241 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
7468, 73eqtrd 2771 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  {cpr 4624   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  cres 5671  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  *cxr 11229   < clt 11230  (,)cioo 13306  t crest 17348  TopOpenctopn 17349  topGenctg 17365  fldccnfld 20878   D cdv 25309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313
This theorem is referenced by:  fourierdlem57  44652  fourierdlem59  44654  fourierdlem68  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator