Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem28 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem28 45149
Description: Derivative of (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem28.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem28.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d 𝐷 = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
fourierdlem28.df (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem28 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Proof of Theorem fourierdlem28
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11204 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3 fourierdlem28.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem28.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 11247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 11268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem28.3b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
1110adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
123adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 13358 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 11247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 11268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 44506 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 11377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
25 iooltub 44521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 11377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
287, 11, 15, 23, 27eliood 44509 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))
29 1red 11219 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
30 fourierdlem28.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3130adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32 elioore 13358 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33ffvelcdmd 7086 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3534recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
36 fourierdlem28.df . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
3736ffvelcdmda 7085 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (π·β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3812recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
39 0red 11221 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
40 iooretop 24502 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241tgioo2 24539 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4340, 42eleqtri 2829 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4443a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
453recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
462, 44, 45dvmptconst 44929 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
4714recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
482, 44dvmptidg 44931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
492, 38, 39, 46, 47, 29, 48dvmptadd 25712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (0 + 1)))
50 0p1e1 12338 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 + 1) = 1)
5251mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
5349, 52eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
5430feqmptd 6959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5554reseq1d 5979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
56 ioossre 13389 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) βŠ† ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) βŠ† ℝ)
5857resmptd 6039 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5955, 58eqtr2d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
6059oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))))
61 fourierdlem28.d . . . . . 6 𝐷 = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
6261eqcomi 2739 . . . . 5 (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = 𝐷)
6436feqmptd 6959 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (π·β€˜π‘¦)))
6560, 63, 643eqtrd 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (π·β€˜π‘¦)))
66 fveq2 6890 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
67 fveq2 6890 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (π·β€˜π‘¦) = (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)))
682, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67dvmptco 25724 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1)))
6936adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
7069, 28ffvelcdmd 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
7170recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
7271mulridd 11235 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1) = (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)))
7372mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
7468, 73eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13328   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  fourierdlem57  45177  fourierdlem59  45179  fourierdlem68  45188
  Copyright terms: Public domain W3C validator