Theorem fourierdlem28 46565

Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem28.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d	⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df	⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem28	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11132	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		fourierdlem28.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem28.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8		fourierdlem28.3b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13330	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18	8	rexrd 11197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 45927	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 45942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 45930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29		1red 11147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30		fourierdlem28.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32		elioore 13330	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
34	31, 33	ffvelcdmd 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
36		fourierdlem28.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
37	36	ffvelcdmda 7038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷‘𝑦) ∈ ℝ)
38	12	recnd 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		0red 11149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		iooretop 24732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41		tgioo4 24772	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
42	40, 41	eleqtri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
44	3	recnd 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	2, 43, 44	dvmptconst 46345	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
46	14	recnd 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
47	2, 43	dvmptidg 46347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
48	2, 38, 39, 45, 46, 29, 47	dvmptadd 25929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
49		0p1e1 12300	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
50	49	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
51	50	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
52	48, 51	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
53	30	feqmptd 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
54	53	reseq1d 5945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
55		ioossre 13362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
57	56	resmptd 6007	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)))
58	54, 57	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
59	58	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
60		fourierdlem28.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
61	60	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
63	36	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
64	59, 62, 63	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
65		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
66		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷‘𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
67	2, 2, 28, 29, 35, 37, 52, 64, 65, 66	dvmptco 25941	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
68	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
69	68, 28	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
71	70	mulridd 11164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
72	71	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
73	67, 72	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5633   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045  ℝ^*cxr 11180   < clt 11181  (,)cioo 13300   ↾_t crest 17385  TopOpenctopn 17386  topGenctg 17402  ℂ_fldccnfld 21354   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-q 12901  df-rp 12945  df-xneg 13065  df-xadd 13066  df-xmul 13067  df-ioo 13304  df-icc 13307  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-seq 13966  df-exp 14026  df-hash 14295  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-starv 17237  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-ip 17240  df-tset 17241  df-ple 17242  df-ds 17244  df-unif 17245  df-hom 17246  df-cco 17247  df-rest 17387  df-topn 17388  df-0g 17406  df-gsum 17407  df-topgen 17408  df-pt 17409  df-prds 17412  df-xrs 17468  df-qtop 17473  df-imas 17474  df-xps 17476  df-mre 17550  df-mrc 17551  df-acs 17553  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-submnd 18754  df-mulg 19046  df-cntz 19294  df-cmn 19759  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22861  df-topon 22878  df-topsp 22900  df-bases 22913  df-cld 22986  df-ntr 22987  df-cls 22988  df-nei 23065  df-lp 23103  df-perf 23104  df-cn 23194  df-cnp 23195  df-haus 23282  df-tx 23529  df-hmeo 23722  df-fil 23813  df-fm 23905  df-flim 23906  df-flf 23907  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-cncf 24847  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  fourierdlem57  46593  fourierdlem59  46595  fourierdlem68  46604