Theorem fourierdlem28 43725

Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem28.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d	⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df	⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem28	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11009	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		fourierdlem28.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		fourierdlem28.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8		fourierdlem28.3b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	readdcld 11050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11071	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
12	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13		elioore 13155	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
16	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
18	8	rexrd 11071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21		ioogtlb 43082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
23	16, 14, 12, 22	ltadd2dd 11180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
24	8	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		iooltub 43097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
26	17, 19, 20, 25	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
27	14, 24, 12, 26	ltadd2dd 11180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
28	7, 11, 15, 23, 27	eliood 43085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29		1red 11022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30		fourierdlem28.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
31	30	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32		elioore 13155	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
33	32	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
34	31, 33	ffvelcdmd 6994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11049	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
36		fourierdlem28.df	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
37	36	ffvelcdmda 6993	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷‘𝑦) ∈ ℝ)
38	12	recnd 11049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		0red 11024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40		iooretop 23974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
42	41	tgioo2 24011	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
43	40, 42	eleqtri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
45	3	recnd 11049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
46	2, 44, 45	dvmptconst 43505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
47	14	recnd 11049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
48	2, 44	dvmptidg 43507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
49	2, 38, 39, 46, 47, 29, 48	dvmptadd 25169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
50		0p1e1 12141	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
52	51	mpteq2dva 5181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
53	49, 52	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
54	30	feqmptd 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
55	54	reseq1d 5902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
56		ioossre 13186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
58	57	resmptd 5960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)))
59	55, 58	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60	59	oveq2d 7323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
61		fourierdlem28.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
62	61	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
64	36	feqmptd 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
65	60, 63, 64	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷‘𝑦)))
66		fveq2 6804	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
67		fveq2 6804	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷‘𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
68	2, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67	dvmptco 25181	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
69	36	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
70	69, 28	ffvelcdmd 6994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
71	70	recnd 11049	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
72	71	mulid1d 11038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
73	72	mpteq2dva 5181	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
74	68, 73	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  {cpr 4567   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  ran crn 5601   ↾ cres 5602  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  ℝcr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055  (,)cioo 13125   ↾_t crest 17176  TopOpenctopn 17177  topGenctg 17193  ℂ_fldccnfld 20642   D cdv 25072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-lp 22332  df-perf 22333  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cncf 24086  df-limc 25075  df-dv 25076

This theorem is referenced by:  fourierdlem57  43753  fourierdlem59  43755  fourierdlem68  43764