Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem28 42640
Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem28.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem28 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10621 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 fourierdlem28.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem28.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 10662 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 10683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem28.3b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 10662 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rexrd 10683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
123adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 12761 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 10662 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 10683 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 10683 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 41995 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 10791 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 iooltub 42010 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 10791 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
287, 11, 15, 23, 27eliood 41998 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29 1red 10634 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30 fourierdlem28.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32 elioore 12761 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33ffvelrnd 6840 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3534recnd 10661 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
36 fourierdlem28.df . . . 4 (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3736ffvelrnda 6839 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3812recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 0red 10636 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40 iooretop 23367 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 23404 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2914 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
453recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
462, 44, 45dvmptconst 42420 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
4714recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
482, 44dvmptidg 42422 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
492, 38, 39, 46, 47, 29, 48dvmptadd 24559 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
50 0p1e1 11752 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
5251mpteq2dva 5147 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5349, 52eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5430feqmptd 6721 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
5554reseq1d 5839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
56 ioossre 12791 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
5857resmptd 5895 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)))
5955, 58eqtr2d 2860 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6059oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
61 fourierdlem28.d . . . . . 6 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6261eqcomi 2833 . . . . 5 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
6436feqmptd 6721 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
6560, 63, 643eqtrd 2863 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
66 fveq2 6658 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
67 fveq2 6658 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
682, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67dvmptco 24571 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
6936adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
7069, 28ffvelrnd 6840 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
7170recnd 10661 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
7271mulid1d 10650 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
7372mpteq2dva 5147 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
7468, 73eqtrd 2859 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {cpr 4551   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543  cres 5544  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  *cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12731  t crest 16690  TopOpenctopn 16691  topGenctg 16707  fldccnfld 20538   D cdv 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-fbas 20535  df-fg 20536  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-nei 21699  df-lp 21737  df-perf 21738  df-cn 21828  df-cnp 21829  df-haus 21916  df-tx 22163  df-hmeo 22356  df-fil 22447  df-fm 22539  df-flim 22540  df-flf 22541  df-xms 22923  df-ms 22924  df-tms 22925  df-cncf 23479  df-limc 24465  df-dv 24466
This theorem is referenced by:  fourierdlem57  42668  fourierdlem59  42670  fourierdlem68  42679
  Copyright terms: Public domain W3C validator