Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem28 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem28 44851
Description: Derivative of (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem28.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem28.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d 𝐷 = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
fourierdlem28.df (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem28 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   πœ‘,𝑠
Proof of Theorem fourierdlem28
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11202 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3 fourierdlem28.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem28.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem28.3b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 11243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐡) ∈ ℝ*)
123adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 13354 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 11243 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 11264 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡))
21 ioogtlb 44208 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 11373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
25 iooltub 44223 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 < 𝐡)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 11373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐡))
287, 11, 15, 23, 27eliood 44211 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))
29 1red 11215 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
30 fourierdlem28.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
3130adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32 elioore 13354 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3534recnd 11242 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
36 fourierdlem28.df . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
3736ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) β†’ (π·β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
3812recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
39 0red 11217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 0 ∈ ℝ)
40 iooretop 24282 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4241tgioo2 24319 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4340, 42eleqtri 2832 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4443a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
453recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
462, 44, 45dvmptconst 44631 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 0))
4714recnd 11242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
482, 44dvmptidg 44633 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
492, 38, 39, 46, 47, 29, 48dvmptadd 25477 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (0 + 1)))
50 0p1e1 12334 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 + 1) = 1)
5251mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
5349, 52eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
5430feqmptd 6961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5554reseq1d 5981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
56 ioossre 13385 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) βŠ† ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) βŠ† ℝ)
5857resmptd 6041 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
5955, 58eqtr2d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
6059oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))))
61 fourierdlem28.d . . . . . 6 𝐷 = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))))
6261eqcomi 2742 . . . . 5 (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)))) = 𝐷)
6436feqmptd 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (π·β€˜π‘¦)))
6560, 63, 643eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡)) ↦ (π·β€˜π‘¦)))
66 fveq2 6892 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
67 fveq2 6892 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) β†’ (π·β€˜π‘¦) = (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)))
682, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67dvmptco 25489 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1)))
6936adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐡))βŸΆβ„)
7069, 28ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
7170recnd 11242 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
7271mulridd 11231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1) = (π·β€˜(𝑋 + 𝑠)))
7372mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((π·β€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
7468, 73eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (π·β€˜(𝑋 + 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248  (,)cioo 13324   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  fourierdlem57  44879  fourierdlem59  44881  fourierdlem68  44890
  Copyright terms: Public domain W3C validator