Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnle 44551
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnle.n 𝑛𝜑
xrralrecnnle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrralrecnnle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnle (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnle.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1916 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1901 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnle.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrralrecnnle.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 nnrecre 12261 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1110rexrd 11271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
1211adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
13 rexr 11267 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
146, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
17 nnrp 12992 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
18 rpreccl 13007 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
217, 20ltaddrpd 13056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2221adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
235, 15, 12, 16, 22xrlelttrd 13146 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
245, 12, 23xrltled 13136 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2524ex 412 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
263, 25ralrimi 3253 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2726ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
28 rpgtrecnn 44548 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
2928adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
30 nfra1 3280 . . . . . . . . 9 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))
311, 30nfan 1901 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
32 nfv 1916 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 ∈ ℝ+
3331, 32nfan 1901 . . . . . . 7 𝑛((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
34 nfv 1916 . . . . . . 7 𝑛 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)
35 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
36 rspa 3244 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
3736adantll 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
3835, 37jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
3938adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
40 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
424ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
44 rpre 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
4746rexrd 11271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
4847ad5ant13 754 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
4911ad5ant14 755 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
50 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
518ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5245ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5343ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) < 𝑥)
5551, 52, 53, 54ltadd2dd 11380 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
5655adantl3r 747 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
5742, 49, 48, 50, 56xrlelttrd 13146 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑥))
5842, 48, 57xrltled 13136 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
5958ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6039, 40, 41, 59syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6160ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))))
6233, 34, 61rexlimd 3262 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6329, 62mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
6463ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
65 xralrple 13191 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
664, 6, 65syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6766adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6864, 67mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝐴𝐵)
6968ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) → 𝐴𝐵))
7027, 69impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wnf 1784  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cr 11115  1c1 11117   + caddc 11119  *cxr 11254   < clt 11255  cle 11256   / cdiv 11878  cn 12219  +crp 12981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-fl 13764
This theorem is referenced by:  xrralrecnnge  44558  iooiinicc  44713  iooiinioc  44727  iinhoiicclem  45847  preimaleiinlt  45895
  Copyright terms: Public domain W3C validator