Theorem xrralrecnnle 45410

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnle.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrralrecnnle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnle	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnle.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnle.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrralrecnnle.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnrecre 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
13		rexr 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		nnrp 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
18		rpreccl 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
21	7, 20	ltaddrpd 13084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
22	21	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
23	5, 15, 12, 16, 22	xrlelttrd 13176	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
24	5, 12, 23	xrltled 13166	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
26	3, 25	ralrimi 3240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
28		rpgtrecnn 45407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
30		nfra1 3266	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))
31	1, 30	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
32		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ℝ+
33	31, 32	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
34		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)
35		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
36		rspa 3231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
37	36	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
38	35, 37	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
39	38	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
40		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
44		rpre 13017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	43, 45	readdcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
48	47	ad5ant13 756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
49	11	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
50		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
51	8	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
52	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) < 𝑥)
55	51, 52, 53, 54	ltadd2dd 11394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
56	55	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
57	42, 49, 48, 50, 56	xrlelttrd 13176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑥))
58	42, 48, 57	xrltled 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
59	58	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
60	39, 40, 41, 59	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
61	60	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))))
62	33, 34, 61	rexlimd 3249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
63	29, 62	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
64	63	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
65		xralrple 13221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
66	4, 6, 65	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
68	64, 67	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
69	68	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
70	27, 69	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℝ⁺crp 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fl 13809

This theorem is referenced by:  xrralrecnnge  45417  iooiinicc  45571  iooiinioc  45585  iinhoiicclem  46702  preimaleiinlt  46750