Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnle 45333
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnle.n 𝑛𝜑
xrralrecnnle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrralrecnnle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnle (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnle.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1912 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1897 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnle.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 xrralrecnnle.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 nnrecre 12306 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1110rexrd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
1211adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
13 rexr 11305 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
146, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1514ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
17 nnrp 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
18 rpreccl 13059 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
217, 20ltaddrpd 13108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2221adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
235, 15, 12, 16, 22xrlelttrd 13199 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
245, 12, 23xrltled 13189 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2524ex 412 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
263, 25ralrimi 3255 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
2726ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
28 rpgtrecnn 45330 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
2928adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
30 nfra1 3282 . . . . . . . . 9 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))
311, 30nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
32 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 ∈ ℝ+
3331, 32nfan 1897 . . . . . . 7 𝑛((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
34 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑛 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)
35 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
36 rspa 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
3736adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
3835, 37jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
3938adantlr 715 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
40 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
424ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
436adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
44 rpre 13041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
4746rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
4847ad5ant13 757 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
4911ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
50 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
518ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5245ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5343ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) < 𝑥)
5551, 52, 53, 54ltadd2dd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
5655adantl3r 750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
5742, 49, 48, 50, 56xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑥))
5842, 48, 57xrltled 13189 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
5958ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6039, 40, 41, 59syl21anc 838 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6160ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))))
6233, 34, 61rexlimd 3264 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6329, 62mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
6463ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
65 xralrple 13244 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
664, 6, 65syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6766adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
6864, 67mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝐴𝐵)
6968ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) → 𝐴𝐵))
7027, 69impbid 212 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  +crp 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  xrralrecnnge  45340  iooiinicc  45495  iooiinioc  45509  iinhoiicclem  46629  preimaleiinlt  46677
  Copyright terms: Public domain W3C validator