Theorem xrralrecnnle 44824

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrralrecnnle.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
xrralrecnnle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrralrecnnle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xrralrecnnle	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrralrecnnle.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ 𝐵
3	1, 2	nfan 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)
4		xrralrecnnle.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		xrralrecnnle.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		nnrecre 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
9	8	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
12	11	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
13		rexr 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		nnrp 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
18		rpreccl 13027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
20	19	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
21	7, 20	ltaddrpd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
22	21	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
23	5, 15, 12, 16, 22	xrlelttrd 13166	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
24	5, 12, 23	xrltled 13156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
25	24	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
26	3, 25	ralrimi 3245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
27	26	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
28		rpgtrecnn 44821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
29	28	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥)
30		nfra1 3272	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))
31	1, 30	nfan 1894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
32		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ℝ+
33	31, 32	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+)
34		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)
35		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
36		rspa 3236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
37	36	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
38	35, 37	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
39	38	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
40		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
42	4	ad4antr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
43	6	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
44		rpre 13009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
46	43, 45	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
48	47	ad5ant13 755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
49	11	ad5ant14 756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
50		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
51	8	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
52	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (1 / 𝑛) < 𝑥)
55	51, 52, 53, 54	ltadd2dd 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
56	55	adantl3r 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) < (𝐵 + 𝑥))
57	42, 49, 48, 50, 56	xrlelttrd 13166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑥))
58	42, 48, 57	xrltled 13156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝑥) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
59	58	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
60	39, 40, 41, 59	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
61	60	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))))
62	33, 34, 61	rexlimd 3254	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝑥 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
63	29, 62	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
64	63	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
65		xralrple 13211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
66	4, 6, 65	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
67	66	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
68	64, 67	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
69	68	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
70	27, 69	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  1c1 11134   + caddc 11136  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℝ⁺crp 13001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fl 13784

This theorem is referenced by:  xrralrecnnge  44831  iooiinicc  44986  iooiinioc  45000  iinhoiicclem  46120  preimaleiinlt  46168