Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsubgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsubgcell 21042
 Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s 𝑆 = (-g𝐴)
matsubgcell.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsubgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matsubgcell.s . . . . . 6 𝑆 = (-g𝐴)
2 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
42, 3matrcl 21020 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
54simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
763ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
102, 9matsubg 21040 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
117, 8, 10syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
121, 11eqtr4id 2855 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
1312oveqd 7156 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15 xpfi 8777 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1615anidms 570 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1716adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20193ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
213eleq2i 2884 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
232, 9matbas 21021 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
244, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2522, 24eleqtrrd 2896 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
2625adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27263ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
283eleq2i 2884 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2928biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
302, 3matrcl 21020 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3130, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3229, 31eleqtrrd 2896 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
3332adantl 485 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34333ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35 matsubgcell.m . . . . 5 = (-g𝑅)
36 eqid 2801 . . . . 5 (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
379, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 20457 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋f 𝑌))
3813, 37eqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋f 𝑌))
3938oveqd 7156 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽))
40 df-ov 7142 . . 3 (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽) = ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41 opelxpi 5560 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
4241anim2i 619 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43423adant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
452, 44, 3matbas2i 21030 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46 elmapfn 8416 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4847adantr 484 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
492, 44, 3matbas2i 21030 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50 elmapfn 8416 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5251adantl 485 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53 inidm 4148 . . . . 5 ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54 df-ov 7142 . . . . . . 7 (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5554eqcomi 2810 . . . . . 6 (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
5655a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57 df-ov 7142 . . . . . . 7 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5857eqcomi 2810 . . . . . 6 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
5958a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 7402 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6143, 60syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6240, 61syl5eq 2848 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6339, 62eqtrd 2836 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444  ⟨cop 4534   × cxp 5521   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  Basecbs 16478  -gcsg 18100  Ringcrg 19293   freeLMod cfrlm 20438   Mat cmat 21015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-mat 21016 This theorem is referenced by:  matinvgcell  21043  dmatsubcl  21106  chmatval  21437  chpmat1dlem  21443  chpdmatlem2  21447  chpdmatlem3  21448
 Copyright terms: Public domain W3C validator