MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsubgcell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsubgcell 21783
Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s 𝑆 = (-g𝐴)
matsubgcell.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsubgcell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell
StepHypRef Expression
1 matsubgcell.s . . . . . 6 𝑆 = (-g𝐴)
2 matplusgcell.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 matplusgcell.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
42, 3matrcl 21759 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
54simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
65adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
763ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
102, 9matsubg 21781 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g𝐴))
121, 11eqtr4id 2795 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
1312oveqd 7374 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15 xpfi 9261 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1615anidms 567 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20193ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
213eleq2i 2829 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
232, 9matbas 21760 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
244, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
2522, 24eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27263ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
283eleq2i 2829 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2928biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
302, 3matrcl 21759 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3130, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3229, 31eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
3332adantl 482 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34333ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35 matsubgcell.m . . . . 5 = (-g𝑅)
36 eqid 2736 . . . . 5 (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
379, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36frlmsubgval 21171 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋f 𝑌))
3813, 37eqtrd 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋f 𝑌))
3938oveqd 7374 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽))
40 df-ov 7360 . . 3 (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽) = ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41 opelxpi 5670 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
4241anim2i 617 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43423adant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
452, 44, 3matbas2i 21771 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46 elmapfn 8803 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
4847adantr 481 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
492, 44, 3matbas2i 21771 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50 elmapfn 8803 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (𝑌𝐵𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
5251adantl 482 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53 inidm 4178 . . . . 5 ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54 df-ov 7360 . . . . . . 7 (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5554eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
5655a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57 df-ov 7360 . . . . . . 7 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
5857eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
5958a1i 11 . . . . 5 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
6048, 52, 19, 19, 53, 56, 59ofval 7628 . . . 4 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6143, 60syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑋f 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6240, 61eqtrid 2788 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋f 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
6339, 62eqtrd 2776 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) (𝐼𝑌𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cop 4592   × cxp 5631   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  -gcsg 18750  Ringcrg 19964   freeLMod cfrlm 21152   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  matinvgcell  21784  dmatsubcl  21847  chmatval  22178  chpmat1dlem  22184  chpdmatlem2  22188  chpdmatlem3  22189
  Copyright terms: Public domain W3C validator