Theorem matsubgcell 22409

Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
matsubgcell.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsubgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matsubgcell.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
2		matplusgcell.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		matplusgcell.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matrcl 22387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	2, 9	matsubg 22407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
11	7, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
12	1, 11	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
13	12	oveqd 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15		xpfi 9223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16	15	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
21	3	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	2, 9	matbas 22388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
25	22, 24	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27	26	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
28	3	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
29	28	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
30	2, 3	matrcl 22387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
32	29, 31	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34	33	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35		matsubgcell.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
37	9, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36	frlmsubgval 21755	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
38	13, 37	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
39	38	oveqd 7377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽))
40		df-ov 7363	. . 3 ⊢ (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41		opelxpi 5661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
42	41	anim2i 618	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43	42	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	2, 44, 3	matbas2i 22397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46		elmapfn 8805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
49	2, 44, 3	matbas2i 22397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		elmapfn 8805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53		inidm 4168	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54		df-ov 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
55	54	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57		df-ov 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
58	57	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
60	48, 52, 19, 19, 53, 56, 59	ofval 7635	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
61	43, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
62	40, 61	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
63	39, 62	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574   × cxp 5622   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  Basecbs 17170  -_gcsg 18902  Ringcrg 20205   freeLMod cfrlm 21736   Mat cmat 22382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mat 22383

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22410  dmatsubcl  22473  chmatval  22804  chpmat1dlem  22810  chpdmatlem2  22814  chpdmatlem3  22815