Theorem matsubgcell 22482

Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
matsubgcell.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsubgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matsubgcell.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
2		matplusgcell.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		matplusgcell.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matrcl 22460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	3ad2ant2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simp1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	2, 9	matsubg 22480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
11	7, 8, 10	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
12	1, 11	eqtr4id 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
13	12	oveqd 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15		xpfi 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16	15	anidms 574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
17	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
21	3	eleq2i 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	2, 9	matbas 22461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
25	22, 24	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
26	25	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27	26	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
28	3	eleq2i 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
29	28	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
30	2, 3	matrcl 22460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
32	29, 31	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
33	32	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34	33	3ad2ant2 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35		matsubgcell.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
37	9, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36	frlmsubgval 21805	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
38	13, 37	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
39	38	oveqd 7408	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽))
40		df-ov 7394	. . 3 ⊢ (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41		opelxpi 5680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
42	41	anim2i 626	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43	42	3adant1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	2, 44, 3	matbas2i 22470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46		elmapfn 8840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
48	47	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
49	2, 44, 3	matbas2i 22470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		elmapfn 8840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
52	51	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53		inidm 4176	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54		df-ov 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
55	54	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57		df-ov 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
58	57	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
60	48, 52, 19, 19, 53, 56, 59	ofval 7666	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
61	43, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
62	40, 61	eqtrid 2808	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
63	39, 62	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⟨cop 4585   × cxp 5641   Fn wfn 6511  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  Basecbs 17236  -_gcsg 18968  Ringcrg 20270   freeLMod cfrlm 21786   Mat cmat 22455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-dsmm 21772  df-frlm 21787  df-mat 22456

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22483  dmatsubcl  22546  chmatval  22877  chpmat1dlem  22883  chpdmatlem2  22887  chpdmatlem3  22888