Theorem matsubgcell 22556

Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
matsubgcell.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsubgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matsubgcell.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
2		matplusgcell.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		matplusgcell.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matrcl 22534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6	5	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	2, 9	matsubg 22554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
11	7, 8, 10	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
12	1, 11	eqtr4id 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
13	12	oveqd 7425	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15		xpfi 9275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16	15	anidms 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
18	4, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
21	3	eleq2i 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	2, 9	matbas 22535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
24	4, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
25	22, 24	eleqtrrd 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
26	25	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27	26	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
28	3	eleq2i 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
29	28	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
30	2, 3	matrcl 22534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
32	29, 31	eleqtrrd 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
33	32	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34	33	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35		matsubgcell.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
36		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
37	9, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36	frlmsubgval 21880	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
38	13, 37	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
39	38	oveqd 7425	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽))
40		df-ov 7411	. . 3 ⊢ (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41		opelxpi 5696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
42	41	anim2i 628	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43	42	3adant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	2, 44, 3	matbas2i 22544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46		elmapfn 8858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
48	47	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
49	2, 44, 3	matbas2i 22544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		elmapfn 8858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
51	49, 50	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
52	51	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53		inidm 4187	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54		df-ov 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
55	54	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57		df-ov 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
58	57	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
60	48, 52, 19, 19, 53, 56, 59	ofval 7683	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
61	43, 60	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
62	40, 61	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
63	39, 62	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cop 4597   × cxp 5657   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17265  -_gcsg 18998  Ringcrg 20311   freeLMod cfrlm 21861   Mat cmat 22529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-mat 22530

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22557  dmatsubcl  22620  chmatval  22951  chpmat1dlem  22957  chpdmatlem2  22961  chpdmatlem3  22962