Theorem matsubgcell 22441

Description: Subtraction in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matsubgcell.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
matsubgcell.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsubgcell	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matsubgcell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matsubgcell.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐴)
2		matplusgcell.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		matplusgcell.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matrcl 22417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
8		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
10	2, 9	matsubg 22439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
11	7, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘𝐴))
12	1, 11	eqtr4id 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑆 = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
13	12	oveqd 7449	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌))
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
15		xpfi 9359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16	15	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
21	3	eleq2i 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	2, 9	matbas 22418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
24	4, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
25	22, 24	eleqtrrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
28	3	eleq2i 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
29	28	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
30	2, 3	matrcl 22417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
31	30, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
32	29, 31	eleqtrrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
35		matsubgcell.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
36		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
37	9, 14, 8, 20, 27, 34, 35, 36	frlmsubgval 21786	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋(-g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
38	13, 37	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝑋𝑆𝑌) = (𝑋 ∘f − 𝑌))
39	38	oveqd 7449	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽))
40		df-ov 7435	. . 3 ⊢ (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
41		opelxpi 5721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
42	41	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
43	42	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)))
44		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
45	2, 44, 3	matbas2i 22429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
46		elmapfn 8906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn (𝑁 × 𝑁))
49	2, 44, 3	matbas2i 22429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
50		elmapfn 8906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
53		inidm 4226	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) ∩ (𝑁 × 𝑁)) = (𝑁 × 𝑁)
54		df-ov 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑋𝐽) = (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
55	54	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑋‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑋𝐽))
57		df-ov 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
58	57	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
60	48, 52, 19, 19, 53, 56, 59	ofval 7709	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
61	43, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → ((𝑋 ∘f − 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
62	40, 61	eqtrid 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋 ∘f − 𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))
63	39, 62	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐼(𝑋𝑆𝑌)𝐽) = ((𝐼𝑋𝐽) − (𝐼𝑌𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ⟨cop 4631   × cxp 5682   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696   ↑_m cmap 8867  Fincfn 8986  Basecbs 17248  -_gcsg 18954  Ringcrg 20231   freeLMod cfrlm 21767   Mat cmat 22412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22413

This theorem is referenced by:  matinvgcell  22442  dmatsubcl  22505  chmatval  22836  chpmat1dlem  22842  chpdmatlem2  22846  chpdmatlem3  22847