Theorem matbas2 20631

Description: The base set of the matrix ring as a set exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matbas2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))

Proof of Theorem matbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpfi 8519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
2	1	anidms 562	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
3	2	anim2i 610	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin))
4	3	ancoms 452	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin))
5		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6		matbas2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	frlmfibas 20505	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin) → (𝐾 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
9		matbas2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10	9, 5	matbas 20623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
11	8, 10	eqtrd 2813	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   × cxp 5353  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255   freeLMod cfrlm 20489   Mat cmat 20617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mat 20618

This theorem is referenced by:  matbas2i  20632  matbas2d  20633  matecl  20635  matvscacell  20646  matring  20653  matassa  20654  mpt2matmul  20657  mat1  20658  mattposcl  20664  mat0dimbas0  20677  mat1dimelbas  20682  mat1f1o  20689  mavmulval  20756  mavmulcl  20758  mavmulass  20760  mavmumamul1  20766  mdetunilem9  20831  cramerimplem2  20897  mat2pmatmul  20943  decpmatmullem  20983  smatcl  30466  1smat1  30468