Theorem modaddb 13938

Description: Addition property of the modulo operation. Biconditional version of modadd1 13937 by applying modadd1 13937 twice. (Contributed by AV, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modaddb	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))

Proof of Theorem modaddb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd1 13937	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
2	1	3expa 1136	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
3		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6, 4	readdcld 11233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	jca 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ))
10		renegcl 11516	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
11	10	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
14		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
15		modadd1 13937	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
16	9, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
17		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	19, 22	addcld 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
24	23, 22	negsubd 11570	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
25	19, 22	pncand 11565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
26	24, 25	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶))
27	26	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 mod 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
28		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30, 22	addcld 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
32	31, 22	negsubd 11570	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
33	30, 22	pncand 11565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
34	32, 33	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 = ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))
35	34	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
36	27, 35	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷)))
37	36	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷)))
38	16, 37	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
39	2, 38	impbida 812	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094   + caddc 11098   − cmin 11436  -cneg 11437  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899

This theorem is referenced by:  modaddid  13939  mod2addne  48107