Theorem modaddb 13832

Description: Addition property of the modulo operation. Biconditional version of modadd1 13831 by applying modadd1 13831 twice. (Contributed by AV, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modaddb	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))

Proof of Theorem modaddb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd1 13831	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
2	1	3expa 1118	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
3		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6, 4	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ))
10		renegcl 11446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
11	10	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+))
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷))
15		modadd1 13831	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) ∧ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
16	9, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
17		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	19, 22	addcld 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
24	23, 22	negsubd 11500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶))
25	19, 22	pncand 11495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
26	24, 25	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝐶) + -𝐶))
27	26	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐴 mod 𝐷) = (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
28		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30, 22	addcld 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
32	31, 22	negsubd 11500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶))
33	30, 22	pncand 11495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
34	32, 33	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → 𝐵 = ((𝐵 + 𝐶) + -𝐶))
35	34	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → (𝐵 mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷))
36	27, 35	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) + -𝐶) mod 𝐷)))
38	16, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)) → (𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷))
39	2, 38	impbida 800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝐷) = (𝐵 mod 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐶) mod 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) mod 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031   − cmin 11366  -cneg 11367  ℝ⁺crp 12912   mod cmo 13792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fl 13715  df-mod 13793

This theorem is referenced by:  modaddid  13833  mod2addne  47368