Theorem mod2addne 47991

Description: The sums of a nonnegative integer less than the modulus and two integers whose difference is less than the modulus are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mod2addne.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mod2addne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Proof of Theorem mod2addne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzolt2 13693	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
6	5	3ad2ant3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
7		modlt0b 47990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
9		fveq2 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘0))
10	9	eleq1d 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
11	10	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
12		abs0 15332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
13	12	eleq1i 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁)))
15		elfzo1 13737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁))
16		0nnn 12268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
18	17	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
21	14, 20	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
22	21	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
23	11, 22	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
24	23	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
25	24	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
26	25	3impia 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
27	8, 26	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
28	27	pm2.01d 192	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
31		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
33		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	30, 32, 33	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
35	34	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
36		difmod0 16341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
38	28, 37	mtbid 327	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
39		elfzoelz 13683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		mod2addne.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	39, 40	eleq2s 2887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	29	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
46	45	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁))
47	31	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	43, 47	addcomd 11408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
49	48	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁))
50	46, 49	eqeq12d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
51	50	3ad2ant2 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
52		zre 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		zre 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	anim12i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
55	54	3adant1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
56	55	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
57		nnrp 13024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
58	41	zred 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
59	58	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
60	57, 59	anim12ci 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
61	56, 60	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
62	61	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
63		modaddb 13938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
64	62, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
65	51, 64	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
66	65	necon3abid 3000	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
67	38, 66	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   − cmin 11437  ℕcn 12229  ℤcz 12587  ℝ⁺crp 13012  ..^cfzo 13678   mod cmo 13898  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  modm2nep1  47993  modp2nep1  47994  modm1nep2  47995  modm1nem2  47996