Theorem mod2addne 47355

Description: The sums of a nonnegative integer less than the modulus and two integers whose difference is less than the modulus are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mod2addne.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mod2addne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Proof of Theorem mod2addne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzolt2 13635	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
7		modlt0b 47354	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
9		fveq2 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘0))
10	9	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
12		abs0 15257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
13	12	eleq1i 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁)))
15		elfzo1 13679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁))
16		0nnn 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17	16	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
21	14, 20	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
23	11, 22	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
25	24	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
26	25	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
27	8, 26	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
28	27	pm2.01d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
31		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
33		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	30, 32, 33	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
35	34	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
36		difmod0 16263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
38	28, 37	mtbid 324	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
39		elfzoelz 13626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		mod2addne.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	39, 40	eleq2s 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	29	zcnd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
46	45	oveq1d 7404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁))
47	31	zcnd 12645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	43, 47	addcomd 11382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
49	48	oveq1d 7404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁))
50	46, 49	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
51	50	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
52		zre 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		zre 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
55	54	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
56	55	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
57		nnrp 12969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
58	41	zred 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
59	58	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
60	57, 59	anim12ci 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
61	56, 60	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
62	61	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
63		modaddb 13877	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
64	62, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
65	51, 64	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
66	65	necon3abid 2962	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
67	38, 66	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   < clt 11214   − cmin 11411  ℕcn 12187  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837  abscabs 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  modm2nep1  47357  modp2nep1  47358  modm1nep2  47359  modm1nem2  47360