Theorem mod2addne 48534

Description: The sums of a nonnegative integer less than the modulus and two integers whose difference is less than the modulus are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mod2addne.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mod2addne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Proof of Theorem mod2addne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzolt2 13807	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
7		modlt0b 48533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
9		fveq2 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘0))
10	9	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
12		abs0 15458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
13	12	eleq1i 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁)))
15		elfzo1 13851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁))
16		0nnn 12378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
21	14, 20	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
23	11, 22	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
24	23	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
25	24	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
26	25	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
27	8, 26	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
28	27	pm2.01d 192	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
31		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
33		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	30, 32, 33	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
35	34	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
36		difmod0 16463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
38	28, 37	mtbid 327	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
39		elfzoelz 13797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		mod2addne.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	39, 40	eleq2s 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	29	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
46	45	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁))
47	31	zcnd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	43, 47	addcomd 11516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
49	48	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁))
50	46, 49	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
51	50	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
52		zre 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		zre 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
55	54	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
56	55	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
57		nnrp 13136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
58	41	zred 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
60	57, 59	anim12ci 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
61	56, 60	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
62	61	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
63		modaddb 14053	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
64	62, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
65	51, 64	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
66	65	necon3abid 2991	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
67	38, 66	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   < clt 11347   − cmin 11545  ℕcn 12339  ℤcz 12697  ℝ⁺crp 13124  ..^cfzo 13792   mod cmo 14013  abscabs 15407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429

This theorem is used by:  modm2nep1  48536  modp2nep1  48537  modm1nep2  48538  modm1nem2  48539