Theorem mod2addne 47830

Description: The sums of a nonnegative integer less than the modulus and two integers whose difference is less than the modulus are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mod2addne.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mod2addne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Proof of Theorem mod2addne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzolt2 13614	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
6	5	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
7		modlt0b 47829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
9		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘0))
10	9	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
12		abs0 15238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
13	12	eleq1i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁)))
15		elfzo1 13658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁))
16		0nnn 12204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17	16	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
21	14, 20	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
23	11, 22	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
25	24	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
26	25	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
27	8, 26	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
28	27	pm2.01d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
31		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
33		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	30, 32, 33	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
35	34	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
36		difmod0 16247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
38	28, 37	mtbid 324	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
39		elfzoelz 13604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		mod2addne.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	39, 40	eleq2s 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	29	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
46	45	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁))
47	31	zcnd 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	43, 47	addcomd 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
49	48	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁))
50	46, 49	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
51	50	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
52		zre 12519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		zre 12519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
55	54	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
56	55	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
57		nnrp 12945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
58	41	zred 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
59	58	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
60	57, 59	anim12ci 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
61	56, 60	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
62	61	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
63		modaddb 13859	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
64	62, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
65	51, 64	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
66	65	necon3abid 2969	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
67	38, 66	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  modm2nep1  47832  modp2nep1  47833  modm1nep2  47834  modm1nem2  47835