Theorem mod2addne 48713

Description: The sums of a nonnegative integer less than the modulus and two integers whose difference is less than the modulus are not equal modulo the modulus. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
mod2addne.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mod2addne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

Proof of Theorem mod2addne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		zsubcl 12778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5		elfzolt2 13843	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁)
7		modlt0b 48712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 − 𝐵) = 0))
9		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘0))
10	9	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) ↔ (abs‘0) ∈ (1..^𝑁)))
12		abs0 15495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘0) = 0
13	12	eleq1i 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) ↔ 0 ∈ (1..^𝑁)))
15		elfzo1 13887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) ↔ (0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁))
16		0nnn 12414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17	16	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℕ → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
18	17	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
21	14, 20	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘0) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
23	11, 22	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 − 𝐵) = 0) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
24	23	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
25	24	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)))
26	25	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
27	8, 26	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
28	27	pm2.01d 192	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0)
29		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30	29	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
31		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
32	31	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
33		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	30, 32, 33	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
35	34	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
36		difmod0 16501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
37	35, 36	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
38	28, 37	mtbid 327	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
39		elfzoelz 13833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
40		mod2addne.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	39, 40	eleq2s 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
42	41	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	29	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43, 44	addcomd 11551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
46	45	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁))
47	31	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	43, 47	addcomd 11551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
49	48	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁))
50	46, 49	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
51	50	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
52		zre 12737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
53		zre 12737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54	52, 53	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
55	54	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
56	55	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
57		nnrp 13172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
58	41	zred 12843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
60	57, 59	anim12ci 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
61	56, 60	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
62	61	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)))
63		modaddb 14089	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
64	62, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 + 𝑋) mod 𝑁) = ((𝐵 + 𝑋) mod 𝑁)))
65	51, 64	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
66	65	necon3abid 2995	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
67	38, 66	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑋 + 𝐴) mod 𝑁) ≠ ((𝑋 + 𝐵) mod 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℤcz 12733  ℝ⁺crp 13160  ..^cfzo 13828   mod cmo 14049  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467

This theorem is used by:  modm2nep1  48715  modp2nep1  48716  modm1nep2  48717  modm1nem2  48718