Theorem modaddid 13914

Description: The sums of two nonnegative integers less than the modulus and an integer are equal iff the two nonnegative integers are equal. (Contributed by AV, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modaddid.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modaddid	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem modaddid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
2	1	zred 12671	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		modaddid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
4	2, 3	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	zred 12671	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℝ)
7	6, 3	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	4, 7	anim12i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
9	8	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
10		eluz3nn 12884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnrpd 13029	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
12		zre 12566	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13	11, 12	anim12ci 623	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		modaddb 13913	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
15	9, 13, 14	3imp3i2an 1358	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
16		zmodidfzoimp 13905	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
17	16, 3	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
18		zmodidfzoimp 13905	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
19	18, 3	eleq2s 2879	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
20	17, 19	eqeqan12d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
21	20	3ad2ant2 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
22	15, 21	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067   + caddc 11070  3c3 12267  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℝ⁺crp 12987  ..^cfzo 13653   mod cmo 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48649  gpgedg2iv  48650