Theorem modaddid 13860

Description: The sums of two nonnegative integers less than the modulus and an integer are equal iff the two nonnegative integers are equal. (Contributed by AV, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modaddid.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modaddid	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem modaddid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
2	1	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		modaddid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
4	2, 3	eleq2s 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℝ)
7	6, 3	eleq2s 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	4, 7	anim12i 619	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
9	8	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
10		eluz3nn 12830	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnrpd 12975	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
12		zre 12519	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13	11, 12	anim12ci 620	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		modaddb 13859	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
15	9, 13, 14	3imp3i2an 1352	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
16		zmodidfzoimp 13851	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
17	16, 3	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
18		zmodidfzoimp 13851	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
19	18, 3	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
20	17, 19	eqeqan12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
21	20	3ad2ant2 1140	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
22	15, 21	bitr3d 282	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032  3c3 12228  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48557  gpgedg2iv  48558