Theorem modaddid 13848

Description: The sums of two nonnegative integers less than the modulus and an integer are equal iff the two nonnegative integers are equal. (Contributed by AV, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
modaddid.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
modaddid	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem modaddid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
2	1	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		modaddid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
4	2, 3	eleq2s 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
6	5	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℝ)
7	6, 3	eleq2s 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	4, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ))
10		eluz3nn 12824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnrpd 12969	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ+)
12		zre 12509	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
13	11, 12	anim12ci 614	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
14		modaddb 13847	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
15	9, 13, 14	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
16		zmodidfzoimp 13839	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
17	16, 3	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → (𝑋 mod 𝑁) = 𝑋)
18		zmodidfzoimp 13839	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
19	18, 3	eleq2s 2846	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑌 mod 𝑁) = 𝑌)
20	17, 19	eqeqan12d 2743	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
21	20	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 mod 𝑁) = (𝑌 mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))
22	15, 21	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047  3c3 12218  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  ..^cfzo 13591   mod cmo 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808

This theorem is referenced by:  gpgedg2ov  48030  gpgedg2iv  48031