Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni 23102
 Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 3-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21elmopn 23052 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴))))
32simplbda 503 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → ∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴))
4 eleq1 2880 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 → (𝑦𝑥𝑃𝑥))
54anbi1d 632 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑃𝑥𝑥𝐴)))
65rexbidv 3259 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
76rspccv 3571 . . 3 (∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴) → (𝑃𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → (𝑃𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
983impia 1114 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884  ran crn 5524  ‘cfv 6328  ∞Metcxmet 20079  ballcbl 20081  MetOpencmopn 20084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-bases 21554 This theorem is referenced by:  mopni2  23103
 Copyright terms: Public domain W3C validator