MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni 23864
Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 3-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
mopni ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem mopni
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21elmopn 23811 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))))
32simplbda 501 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
4 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ ↔ 𝑃 ∈ π‘₯))
54anbi1d 631 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
65rexbidv 3176 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
76rspccv 3581 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
983impia 1118 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-bases 22312
This theorem is referenced by:  mopni2  23865
  Copyright terms: Public domain W3C validator