MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni 24400
Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 3-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
mopni ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem mopni
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21elmopn 24347 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ (𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))))
32simplbda 499 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
4 eleq1 2817 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 β†’ (𝑦 ∈ π‘₯ ↔ 𝑃 ∈ π‘₯))
54anbi1d 630 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 β†’ ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
65rexbidv 3175 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
76rspccv 3606 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴)))
983impia 1115 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  βˆžMetcxmet 21263  ballcbl 21265  MetOpencmopn 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-topgen 17424  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-bases 22848
This theorem is referenced by:  mopni2  24401
  Copyright terms: Public domain W3C validator