Theorem mopni2 24665

Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopni2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopni 24664	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
3	1	mopnss 24618	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
4	3	sselda 3940	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		blssex 24599	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
6	5	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
7	4, 6	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
8	7	3impa 1127	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  ran crn 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝ⁺crp 13026  ∞Metcxmet 21522  ballcbl 21524  MetOpencmopn 21527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-topgen 17506  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-top 23066  df-topon 23083  df-bases 23118

This theorem is used by:  mopni3  24666  neibl  24673  met1stc  24693  met2ndci  24694  prdsxmslem2  24701  metcnp3  24712  xrsmopn  24985  iccntr  24994  icccmplem3  24997  reconnlem2  25000  opnreen  25004  metdseq0  25027  cnllycmp  25130  nmhmcn  25294  lmmbr  25432  cfilfcls  25448  iscmet3lem2  25466  bcthlem5  25502  opnmbllem  25775  ellimc3  26053  lhop  26190  dvcnvre  26193  xrlimcnp  27148  lgamucov  27217  ubthlem1  31237  cnllysconn  35749  ptrecube  38303  opnmbllem0  38339  heiborlem8  38501  qndenserrnopnlem  47043  opnvonmbllem2  47379