Theorem mopni2 23103

Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 2-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopni2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopni 23102	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))
3	1	mopnss 23056	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
4	3	sselda 3967	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		blssex 23037	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
6	5	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
7	4, 6	syldan 593	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
8	7	3impa 1106	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴))
9	2, 8	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝ⁺crp 12390  ∞Metcxmet 20530  ballcbl 20532  MetOpencmopn 20535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554

This theorem is referenced by:  mopni3  23104  neibl  23111  met1stc  23131  met2ndci  23132  prdsxmslem2  23139  metcnp3  23150  xrsmopn  23420  iccntr  23429  icccmplem3  23432  reconnlem2  23435  opnreen  23439  metdseq0  23462  cnllycmp  23560  nmhmcn  23724  lmmbr  23861  cfilfcls  23877  iscmet3lem2  23895  bcthlem5  23931  opnmbllem  24202  ellimc3  24477  lhop  24613  dvcnvre  24616  xrlimcnp  25546  lgamucov  25615  ubthlem1  28647  cnllysconn  32492  ptrecube  34907  opnmbllem0  34943  heiborlem8  35111  qndenserrnopnlem  42602  opnvonmbllem2  42935