MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfzshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfzshft 14970
Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 14972. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptfzshft.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
mptfzshft (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7055 . . . 4 (𝑗𝐾) ∈ V
2 eqid 2797 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾))
31, 2fnmpti 6366 . . 3 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5 ovex 7055 . . . 4 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6 eqid 2797 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
75, 6fnmpti 6366 . . 3 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
98oveq1d 7038 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗𝐾) + 𝐾))
10 elfzelz 12762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1110ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 mptfzshft.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 zcn 11840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15 zcn 11840 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16 npcan 10749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1714, 15, 16syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1811, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
199, 18eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2119, 20eqeltrrd 2886 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22 mptfzshft.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 mptfzshft.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2611, 13zsubcld 11946 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑗𝐾) ∈ ℤ)
278, 26eqeltrd 2885 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzaddel 12795 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
2923, 25, 27, 13, 28syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3021, 29mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3130, 19jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3422adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3524adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfzelz 12762 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3812adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3934, 35, 37, 38, 28syl22anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
4033, 39mpbid 233 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4132, 40eqeltrd 2885 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4232oveq1d 7038 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43 zcn 11840 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44 pncan 10745 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4543, 15, 44syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4637, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4742, 46eqtr2d 2834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
4841, 47jca 512 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)))
4931, 48impbida 797 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
5049mptcnv 5881 . . . 4 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
5150fneq1d 6323 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
527, 51mpbiri 259 . 2 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53 dff1o4 6498 . 2 ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
544, 52, 53sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  cmpt 5047  ccnv 5449   Fn wfn 6227  1-1-ontowf1o 6231  (class class class)co 7023  cc 10388   + caddc 10393  cmin 10723  cz 11835  ...cfz 12746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747
This theorem is referenced by:  fsumshft  14972  fprodshft  15167  gsummptshft  18780
  Copyright terms: Public domain W3C validator