Theorem mptfzshft 15788

Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 15790. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptfzshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
mptfzshft	⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7425	. . . 4 ⊢ (𝑗 − 𝐾) ∈ V
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
3	1, 2	fnmpti 6660	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5		ovex 7425	. . . 4 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
7	5, 6	fnmpti 6660	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
9	8	oveq1d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾))
10		elfzelz 13526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		mptfzshft.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		zcn 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15		zcn 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16		npcan 11436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
17	14, 15, 16	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
18	11, 13, 17	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
19	9, 18	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
21	19, 20	eqeltrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22		mptfzshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		mptfzshft.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	11, 13	zsubcld 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	8, 26	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28		fzaddel 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
29	23, 25, 27, 13, 28	syl22anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	21, 29	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
31	30, 19	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	24	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		elfzelz 13526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
38	12	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	34, 35, 37, 38, 28	syl22anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
40	33, 39	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
41	32, 40	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
42	32	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43		zcn 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44		pncan 11433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
45	43, 15, 44	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
46	37, 38, 45	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
47	42, 46	eqtr2d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
48	41, 47	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)))
49	31, 48	impbida 810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
50	49	mptcnv 6122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
51	50	fneq1d 6610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
52	7, 51	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53		dff1o4 6811	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
54	4, 52, 53	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5644   Fn wfn 6512  –1-1-onto→wf1o 6516  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411  ℤcz 12565  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by:  fsumshft  15790  fprodshft  15989  gsummptshft  19959