Theorem mptfzshft 15701

Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 15703. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptfzshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
mptfzshft	⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑗 − 𝐾) ∈ V
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
3	1, 2	fnmpti 6635	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
7	5, 6	fnmpti 6635	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
9	8	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾))
10		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
11	10	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12		mptfzshft.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		zcn 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15		zcn 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16		npcan 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
18	11, 13, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → ((𝑗 − 𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
19	9, 18	eqtr2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
21	19, 20	eqeltrrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22		mptfzshft.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24		mptfzshft.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	11, 13	zsubcld 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	8, 26	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28		fzaddel 13474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
29	23, 25, 27, 13, 28	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
30	21, 29	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
31	30, 19	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
38	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	34, 35, 37, 38, 28	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
40	33, 39	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
41	32, 40	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
42	32	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 − 𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43		zcn 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44		pncan 11386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
45	43, 15, 44	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
46	37, 38, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
47	42, 46	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗 − 𝐾))
48	41, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)))
49	31, 48	impbida 800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
50	49	mptcnv 6096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
51	50	fneq1d 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
52	7, 51	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53		dff1o4 6782	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ◡(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
54	4, 52, 53	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   Fn wfn 6487  –1-1-onto→wf1o 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fsumshft  15703  fprodshft  15899  gsummptshft  19865