MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfzshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfzshft 15756
Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 15758. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptfzshft.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
mptfzshft (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7449 . . . 4 (𝑗𝐾) ∈ V
2 eqid 2725 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾))
31, 2fnmpti 6693 . . 3 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5 ovex 7449 . . . 4 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6 eqid 2725 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
75, 6fnmpti 6693 . . 3 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
98oveq1d 7431 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗𝐾) + 𝐾))
10 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 mptfzshft.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 zcn 12593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15 zcn 12593 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16 npcan 11499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1714, 15, 16syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1811, 13, 17syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
199, 18eqtr2d 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2119, 20eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22 mptfzshft.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 mptfzshft.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2524adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2611, 13zsubcld 12701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑗𝐾) ∈ ℤ)
278, 26eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzaddel 13567 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
2923, 25, 27, 13, 28syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3021, 29mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3130, 19jca 510 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3422adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3524adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3812adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3934, 35, 37, 38, 28syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
4033, 39mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4132, 40eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4232oveq1d 7431 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43 zcn 12593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44 pncan 11496 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4543, 15, 44syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4637, 38, 45syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4742, 46eqtr2d 2766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
4841, 47jca 510 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)))
4931, 48impbida 799 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
5049mptcnv 6139 . . . 4 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
5150fneq1d 6642 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
527, 51mpbiri 257 . 2 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53 dff1o4 6842 . 2 ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
544, 52, 53sylanbrc 581 1 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5226  ccnv 5671   Fn wfn 6538  1-1-ontowf1o 6542  (class class class)co 7416  cc 11136   + caddc 11141  cmin 11474  cz 12588  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517
This theorem is referenced by:  fsumshft  15758  fprodshft  15952  gsummptshft  19895
  Copyright terms: Public domain W3C validator