MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfzshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfzshft 15811
Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 15813. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptfzshft.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
mptfzshft (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7464 . . . 4 (𝑗𝐾) ∈ V
2 eqid 2735 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾))
31, 2fnmpti 6712 . . 3 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5 ovex 7464 . . . 4 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6 eqid 2735 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
75, 6fnmpti 6712 . . 3 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
98oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗𝐾) + 𝐾))
10 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1110ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 mptfzshft.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16 npcan 11515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1811, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
199, 18eqtr2d 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2119, 20eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22 mptfzshft.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 mptfzshft.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2611, 13zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑗𝐾) ∈ ℤ)
278, 26eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzaddel 13595 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
2923, 25, 27, 13, 28syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3021, 29mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3130, 19jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3422adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3812adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3934, 35, 37, 38, 28syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
4033, 39mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4132, 40eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4232oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43 zcn 12616 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44 pncan 11512 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4543, 15, 44syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4637, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4742, 46eqtr2d 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
4841, 47jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)))
4931, 48impbida 801 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
5049mptcnv 6162 . . . 4 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
5150fneq1d 6662 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
527, 51mpbiri 258 . 2 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53 dff1o4 6857 . 2 ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
544, 52, 53sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  ccnv 5688   Fn wfn 6558  1-1-ontowf1o 6562  (class class class)co 7431  cc 11151   + caddc 11156  cmin 11490  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  fsumshft  15813  fprodshft  16009  gsummptshft  19969
  Copyright terms: Public domain W3C validator