Theorem fsumshft 14920

Description: Index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshft.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshft	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumshft.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 13095	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
3		fsumrev.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		fsumrev.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fsumrev.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	mptfzshft 14918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		oveq1 6931	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 𝐾) = (𝑘 − 𝐾))
8		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
9		ovex 6956	. . . 4 ⊢ (𝑘 − 𝐾) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6544	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
11	10	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
12		fsumrev.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 2, 6, 11, 12	fsumf1o 14865	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4967  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272   + caddc 10277   − cmin 10608  ℤcz 11732  ...cfz 12647  Σcsu 14828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829

This theorem is referenced by:  fsumshftm  14921  binomlem  14969  binomfallfaclem2  15177  bpolydiflem  15191  pwp1fsum  15525  dvtaylp  24565  fsum2dsub  31291  fwddifnp1  32865  fsumshftd  35111  dvnmul  41096  elaa2lem  41387  altgsumbcALT  43156