Theorem fprodshft 15936

Description: Shift the index of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fprodshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fprodshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fprodshft.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodshft.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodshft	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝜑,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodshft.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 13930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
3		fprodshft.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		fprodshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fprodshft.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	mptfzshft 15735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 𝐾) = (𝑘 − 𝐾))
8		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
9		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝑘 − 𝐾) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6939	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
11	10	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
12		fprodshft.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 2, 6, 11, 12	fprodf1o 15906	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   + caddc 11036   − cmin 11372  ℤcz 12519  ...cfz 13456  ∏cprod 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-prod 15864

This theorem is referenced by:  risefacval2  15970  fallfacval2  15971