Theorem fprodshft 15329

Description: Shift the index of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodshft.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fprodshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fprodshft.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fprodshft.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodshft.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodshft	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝐾,𝑘   𝜑,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodshft.5	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
2		fzfid 13340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
3		fprodshft.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		fprodshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fprodshft.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	mptfzshft 15132	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
7		oveq1 7162	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 𝐾) = (𝑘 − 𝐾))
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))
9		ovex 7188	. . . 4 ⊢ (𝑘 − 𝐾) ∈ V
10	7, 8, 9	fvmpt 6767	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
11	10	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗 − 𝐾))‘𝑘) = (𝑘 − 𝐾))
12		fprodshft.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 2, 6, 11, 12	fprodf1o 15299	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534   + caddc 10539   − cmin 10869  ℤcz 11980  ...cfz 12891  ∏cprod 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-prod 15259

This theorem is referenced by:  risefacval2  15363  fallfacval2  15364