Theorem muladdmod 13980

Description: A real number is the sum of the number and a multiple of a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Proof of Theorem muladdmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12649	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		rpre 13075	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11323	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13977	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
10		pm3.22 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
11	10	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
12		mulmod0 13944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
14	13	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
15		recn 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addlidd 11494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
18	14, 17	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
20	9, 19	eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7451  ℝcr 11186  0cc0 11187   + caddc 11190   · cmul 11192  ℤcz 12645  ℝ⁺crp 13066   mod cmo 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fl 13859  df-mod 13937

This theorem is referenced by:  ceil5half3  47263