Theorem muladdmod 13883

Description: A real number is the sum of the number and a multiple of a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Proof of Theorem muladdmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12539	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		rpre 12966	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13880	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
10		pm3.22 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
11	10	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
12		mulmod0 13845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
14	13	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
15		recn 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addlidd 11381	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
18	14, 17	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7404	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
20	9, 19	eqtr3d 2767	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   · cmul 11079  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-mod 13838

This theorem is referenced by:  ceil5half3  47331