Theorem muladdmod 14062

Description: A real number is the sum of the number and a multiple of a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Proof of Theorem muladdmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		rpre 13136	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11346	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
6		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 14059	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
10		pm3.22 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
11	10	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
12		mulmod0 14024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
14	13	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
15		recn 11297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addlidd 11518	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
18	14, 17	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
20	9, 19	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   + caddc 11210   · cmul 11212  ℤcz 12700  ℝ⁺crp 13127   mod cmo 14016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fl 13939  df-mod 14017

This theorem is used by:  ceil5half3  48524