Theorem muladdmod 13949

Description: A real number is the sum of the number and a multiple of a positive real number modulo the positive real number. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Proof of Theorem muladdmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		rpre 13039	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
5	2, 4	remulcld 11287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ)
6		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
8		modaddmod 13946	. . 3 ⊢ (((𝑁 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀))
10		pm3.22 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
11	10	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
12		mulmod0 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)
14	13	oveq1d 7444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
15		recn 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	addlidd 11458	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
17	16	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
18	14, 17	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) = 𝐴)
19	18	oveq1d 7444	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑁 · 𝑀) mod 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
20	9, 19	eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7429  ℝcr 11150  0cc0 11151   + caddc 11154   · cmul 11156  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13030   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fl 13828  df-mod 13906

This theorem is referenced by:  ceil5half3  47315