Theorem mulmod0 13845

Description: The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Proof of Theorem mulmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12564	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		rpcn 12987	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		rpne0 12993	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan4d 11997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) = 𝐴)
8		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	7, 8	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ)
10		zre 12563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rpre 12985	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
12		remulcl 11194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ)
14		mod0 13844	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
15	13, 14	sylancom 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	9, 15	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   / cdiv 11872  ℤcz 12559  ℝ⁺crp 12977   mod cmo 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  13880  mod2eq1n2dvds  16295  modprm0  16745  2lgslem3a1  27284  2lgslem3d1  27287