MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmod0 13789
Description: The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulmod0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0)

Proof of Theorem mulmod0
StepHypRef Expression
1 zcn 12511 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 rpcn 12932 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
43adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5 rpne0 12938 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
65adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
72, 4, 6divcan4d 11944 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) = ๐ด)
8 simpl 484 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
97, 8eqeltrd 2838 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
10 zre 12510 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rpre 12930 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 remulcl 11143 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
1310, 11, 12syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
14 mod0 13788 . . 3 (((๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0 โ†” ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1513, 14sylancom 589 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0 โ†” ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
169, 15mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„คcz 12506  โ„+crp 12922   mod cmo 13781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782
This theorem is referenced by:  mulp1mod1  13824  mod2eq1n2dvds  16236  modprm0  16684  2lgslem3a1  26764  2lgslem3d1  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator