Theorem mulmod0 13838

Description: The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulmod0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Proof of Theorem mulmod0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		rpcn 12980	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		rpne0 12986	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan4d 11992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) = 𝐴)
8		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	7, 8	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ)
10		zre 12558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
11		rpre 12978	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
12		remulcl 11191	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ)
14		mod0 13837	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
15	13, 14	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑀) / 𝑀) ∈ ℤ))
16	9, 15	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 · 𝑀) mod 𝑀) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970   mod cmo 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  13873  mod2eq1n2dvds  16286  modprm0  16734  2lgslem3a1  26892  2lgslem3d1  26895