![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulmod0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulmod0 | โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด ยท ๐) mod ๐) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zcn 12559 | . . . . 5 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | adantr 481 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ๐ด โ โ) |
3 | rpcn 12980 | . . . . 5 โข (๐ โ โ+ โ ๐ โ โ) | |
4 | 3 | adantl 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ๐ โ โ) |
5 | rpne0 12986 | . . . . 5 โข (๐ โ โ+ โ ๐ โ 0) | |
6 | 5 | adantl 482 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ๐ โ 0) |
7 | 2, 4, 6 | divcan4d 11992 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด ยท ๐) / ๐) = ๐ด) |
8 | simpl 483 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ๐ด โ โค) | |
9 | 7, 8 | eqeltrd 2833 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด ยท ๐) / ๐) โ โค) |
10 | zre 12558 | . . . 4 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
11 | rpre 12978 | . . . 4 โข (๐ โ โ+ โ ๐ โ โ) | |
12 | remulcl 11191 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด ยท ๐) โ โ) | |
13 | 10, 11, 12 | syl2an 596 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ (๐ด ยท ๐) โ โ) |
14 | mod0 13837 | . . 3 โข (((๐ด ยท ๐) โ โ โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด ยท ๐) mod ๐) = 0 โ ((๐ด ยท ๐) / ๐) โ โค)) | |
15 | 13, 14 | sylancom 588 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ (((๐ด ยท ๐) mod ๐) = 0 โ ((๐ด ยท ๐) / ๐) โ โค)) |
16 | 9, 15 | mpbird 256 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด ยท ๐) mod ๐) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 (class class class)co 7405 โcc 11104 โcr 11105 0cc0 11106 ยท cmul 11111 / cdiv 11867 โคcz 12554 โ+crp 12970 mod cmo 13830 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-fl 13753 df-mod 13831 |
This theorem is referenced by: mulp1mod1 13873 mod2eq1n2dvds 16286 modprm0 16734 2lgslem3a1 26892 2lgslem3d1 26895 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |