MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmod0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmod0 13882
Description: The product of an integer and a positive real number is 0 modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) (Revised by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulmod0 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0)

Proof of Theorem mulmod0
StepHypRef Expression
1 zcn 12601 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 rpcn 13024 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
43adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5 rpne0 13030 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
65adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
72, 4, 6divcan4d 12034 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) = ๐ด)
8 simpl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
97, 8eqeltrd 2829 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
10 zre 12600 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 rpre 13022 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
12 remulcl 11231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
1310, 11, 12syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
14 mod0 13881 . . 3 (((๐ด ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0 โ†” ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
1513, 14sylancom 586 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0 โ†” ((๐ด ยท ๐‘€) / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
169, 15mpbird 256 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘€) mod ๐‘€) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   / cdiv 11909  โ„คcz 12596  โ„+crp 13014   mod cmo 13874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875
This theorem is referenced by:  mulp1mod1  13917  mod2eq1n2dvds  16331  modprm0  16781  2lgslem3a1  27353  2lgslem3d1  27356
  Copyright terms: Public domain W3C validator