Theorem modmuladd 13931

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
3	2	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
4		zre 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		rpne0 13025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
10	5, 7, 9	redivcld 12069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13815	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
13		flpmodeq 13891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
14	4, 13	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
16	15	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	3, 12, 16	rspcedvdw 3604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 3164	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
25		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
26		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
27		muladdmodid 13928	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
29	23, 28	sylan9eqr 2792	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
30	29	rexlimdva2 3143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
31	22, 30	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134   / cdiv 11894  ℤcz 12588  ℝ⁺crp 13008  [,)cico 13364  ⌊cfl 13807   mod cmo 13886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fl 13809  df-mod 13887

This theorem is referenced by:  modmuladdim  13932