Theorem modmuladd 13923

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
3	2	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
4		zre 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 12999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		rpne0 13007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
9	8	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
10	5, 7, 9	redivcld 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
12	11	3adant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
13		flpmodeq 13881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
14	4, 13	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
16	15	3adant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	3, 12, 16	rspcedvdw 3584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 7399	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
25		simpl3 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
26		simpl2 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
27		muladdmodid 13920	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
29	23, 28	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
30	29	rexlimdva2 3164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
31	22, 30	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   + caddc 11073   · cmul 11075   / cdiv 11841  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990  [,)cico 13348  ⌊cfl 13797   mod cmo 13876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-fl 13799  df-mod 13877

This theorem is referenced by:  modmuladdim  13924