MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladd 13902
Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladd ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modmuladd
StepHypRef Expression
1 zre 12584 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 rpre 13006 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
43adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5 rpne0 13014 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
72, 4, 6redivcld 12064 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„)
87flcld 13787 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
983adant2 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
10 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€))
1110oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
1211eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) โ†” ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
1312adantl 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) โ†” ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
141anim1i 614 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+))
15143adant2 1129 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+))
16 flpmodeq 13863 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = ๐ด)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)) = ๐ด)
1817eqcomd 2733 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด = (((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
199, 13, 18rspcedvd 3609 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
20 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€)))
2120eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2221eqcoms 2735 . . . 4 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2322rexbidv 3173 . . 3 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + (๐ด mod ๐‘€))))
2419, 23syl5ibrcom 246 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
25 oveq1 7421 . . . 4 (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€))
26 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
27 simpl3 1191 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
28 simpl2 1190 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€))
29 muladdmodid 13900 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€)) โ†’ (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€) = ๐ต)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) mod ๐‘€) = ๐ต)
3125, 30sylan9eqr 2789 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต)
3231rexlimdva2 3152 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต))
3324, 32impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)๐‘€) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   / cdiv 11893  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  [,)cico 13350  โŒŠcfl 13779   mod cmo 13858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fl 13781  df-mod 13859
This theorem is referenced by:  modmuladdim  13903
  Copyright terms: Public domain W3C validator