Theorem modmuladd 13817

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
3	2	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
4		zre 12469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 12896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		rpne0 12904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
10	5, 7, 9	redivcld 11946	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
12	11	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
13		flpmodeq 13775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
14	4, 13	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
16	15	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	3, 12, 16	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 3156	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
25		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
26		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
27		muladdmodid 13814	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
29	23, 28	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
30	29	rexlimdva2 3135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
31	22, 30	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244  ⌊cfl 13691   mod cmo 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-fl 13693  df-mod 13771

This theorem is referenced by:  modmuladdim  13818