Theorem modmuladd 13940

Description: Decomposition of an integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝑘 · 𝑀) = ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀))
2	1	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
3	2	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) ↔ 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
4		zre 12586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		rpre 13016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		rpne0 13024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
9	8	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
10	5, 7, 9	redivcld 12034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
11	10	flcld 13822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
12	11	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ∈ ℤ)
13		flpmodeq 13898	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
14	4, 13	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)) = 𝐴)
15	14	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
16	15	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 = (((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
17	3, 12, 16	rspcedvdw 3587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
18		oveq2 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀)))
19	18	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	eqcoms 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + (𝐴 mod 𝑀))))
22	17, 21	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
23		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀))
24		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
25		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ+)
26		simpl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ (0[,)𝑀))
27		muladdmodid 13937	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) mod 𝑀) = 𝐵)
29	23, 28	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵)
30	29	rexlimdva2 3168	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵))
31	22, 30	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   / cdiv 11859  ℤcz 12582  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13365  ⌊cfl 13814   mod cmo 13893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fl 13816  df-mod 13894

This theorem is referenced by:  modmuladdim  13941