Theorem ceil5half3 47315

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12335	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 13021	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47314	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12315	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12414	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12632	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13935	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13925	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2768	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7423	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12329	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12352	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11996	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2757	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2757	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   < clt 11277   − cmin 11474   / cdiv 11902  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13016  ⌈cceil 13813   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fl 13814  df-ceil 13815  df-mod 13892

This theorem is referenced by:  gpg5order  47987  gpg5nbgrvtx13starlem2  48001  gpg5gricstgr3  48019  gpg5grlic  48020