Theorem ceil5half3 47315

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12349	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 13035	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47314	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12329	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12428	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7439	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11567	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12645	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13949	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13939	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2772	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7440	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2775	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7439	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12366	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 12010	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2764	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5141  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  ℝcr 11150  1c1 11152   + caddc 11154   · cmul 11156   < clt 11291   − cmin 11488   / cdiv 11916  2c2 12317  3c3 12318  4c4 12319  5c5 12320  6c6 12321  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13030  ⌈cceil 13827   mod cmo 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-rp 13031  df-fl 13828  df-ceil 13829  df-mod 13906

This theorem is referenced by:  gpg5order  47987  gpg5nbgrvtx13starlem2  48001  gpg5gricstgr3  48019  gpg5grlic  48020