Theorem ceil5half3 47901

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12299	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 12992	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47900	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 702	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12278	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12377	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11487	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12597	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13919	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1481	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12384	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13907	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2792	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7402	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2795	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7401	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12293	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12318	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11932	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2784	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   − cmin 11408   / cdiv 11838  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12987  ⌈cceil 13795   mod cmo 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-ceil 13797  df-mod 13874

This theorem is referenced by:  gpg5order  48643  gpg5nbgrvtx13starlem2  48655  gpg5gricstgr3  48673  pglem  48674  gpg5grlim  48676  gpg5grlic  48677