Theorem ceil5half3 48523

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12435	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 13130	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 48522	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12414	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12513	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11625	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12733	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 14060	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 14048	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2791	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7433	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2794	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7432	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12429	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12454	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 12069	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2783	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   − cmin 11546   / cdiv 11978  2c2 12402  3c3 12403  4c4 12404  5c5 12405  6c6 12406  ℤcz 12698  ℝ⁺crp 13125  ⌈cceil 13936   mod cmo 14014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fl 13937  df-ceil 13938  df-mod 14015

This theorem is used by:  gpg5order  49265  gpg5nbgrvtx13starlem2  49277  gpg5gricstgr3  49295  pglem  49296  gpg5grlim  49298  gpg5grlic  49299