Theorem ceil5half3 47502

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12223	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 12901	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47501	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12203	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12297	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7365	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12514	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13826	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12302	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13814	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2764	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2767	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7365	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12217	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12240	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11879	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2756	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   − cmin 11355   / cdiv 11785  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  ℤcz 12479  ℝ⁺crp 12896  ⌈cceil 13702   mod cmo 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781

This theorem is referenced by:  gpg5order  48222  gpg5nbgrvtx13starlem2  48234  gpg5gricstgr3  48252  pglem  48253  gpg5grlim  48255  gpg5grlic  48256