Theorem ceil5half3 47774

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12233	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 12911	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47773	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12213	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12307	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11085	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11444	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13836	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13824	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2771	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12227	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11889	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2760	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   < clt 11167   − cmin 11365   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12906  ⌈cceil 13712   mod cmo 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fl 13713  df-ceil 13714  df-mod 13791

This theorem is referenced by:  gpg5order  48494  gpg5nbgrvtx13starlem2  48506  gpg5gricstgr3  48524  pglem  48525  gpg5grlim  48527  gpg5grlic  48528