Theorem ceil5half3 48116

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12339	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 13033	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 48115	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12318	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12417	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12637	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13962	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13950	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2796	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2799	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12333	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12358	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11973	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2788	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2788	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13028  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917

This theorem is used by:  gpg5order  48858  gpg5nbgrvtx13starlem2  48870  gpg5gricstgr3  48888  pglem  48889  gpg5grlim  48891  gpg5grlic  48892