Theorem ceil5half3 47586

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12232	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 12910	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47585	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12212	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12306	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11443	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13835	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13823	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2770	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12226	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12249	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 11888	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2759	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364   / cdiv 11794  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ⌈cceil 13711   mod cmo 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-ceil 13713  df-mod 13790

This theorem is referenced by:  gpg5order  48306  gpg5nbgrvtx13starlem2  48318  gpg5gricstgr3  48336  pglem  48337  gpg5grlim  48339  gpg5grlic  48340