Theorem ceil5half3 47263

Description: The ceiling of half of 5 is 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceil5half3	⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Proof of Theorem ceil5half3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12385	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		2rp 13071	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		ceildivmod 47262	. . 3 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2)
5		df-6 12365	. . . . 5 ⊢ 6 = (5 + 1)
6		3t2e6 12464	. . . . 5 ⊢ (3 · 2) = 6
7		2t2e4 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
8	7	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = (4 + (2 − 5))
9		4cn 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
10		2cn 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		5cn 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
12	9, 10, 11	addsubassi 11632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = (4 + (2 − 5))
13		ax-1cn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		4p2e6 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 + 2) = 6
15	14, 5	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 2) = (5 + 1)
16	11, 13, 15	mvrladdi 11558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 + 2) − 5) = 1
17	8, 12, 16	3eqtr2i 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + (2 − 5)) = 1
18	17	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = (1 mod 2)
19		2re 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19, 1	resubcli 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 5) ∈ ℝ
21		2z 12681	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
22		muladdmod 13980	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 − 5) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2))
23	20, 2, 21, 22	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 2) + (2 − 5)) mod 2) = ((2 − 5) mod 2)
24		1lt2 12469	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
25		1mod 13970	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (1 mod 2) = 1)
26	19, 24, 25	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 2) = 1
27	18, 23, 26	3eqtr3i 2776	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 5) mod 2) = 1
28	27	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (5 + 1)
29	5, 6, 28	3eqtr4ri 2779	. . . 4 ⊢ (5 + ((2 − 5) mod 2)) = (3 · 2)
30	29	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
31		3cn 12379	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
32		2ne0 12402	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
33	31, 10, 32	divcan4i 12046	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
34	30, 33	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((5 + ((2 − 5) mod 2)) / 2) = 3
35	4, 34	eqtri 2768	1 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5167  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  ℝcr 11186  1c1 11188   + caddc 11190   · cmul 11192   < clt 11327   − cmin 11524   / cdiv 11952  2c2 12353  3c3 12354  4c4 12355  5c5 12356  6c6 12357  ℤcz 12645  ℝ⁺crp 13066  ⌈cceil 13858   mod cmo 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-er 8766  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-rp 13067  df-fl 13859  df-ceil 13860  df-mod 13937

This theorem is referenced by:  gpg5nbgrvtx13starlem2  47915