Theorem mulgnegnn 19294

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnegnn.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnegnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12343	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11660	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 = 𝑁)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → - -𝑁 = 𝑁)
4	3	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5	4	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6		nnnegz 12696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7		mulg1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10		mulgnegnn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
11		mulg1.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mulgval 19281	. . . 4 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))))
14	6, 13	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))))
15		nnne0 12372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16		negeq0 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
17	16	necon3abid 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
19	15, 18	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
20	19	iffalsed 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁))))
21		nnre 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	renegcld 11743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23		nngt0 12369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
24	21	lt0neg2d 11886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
25	23, 24	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26		0re 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		ltnsym 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
28	26, 27	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
29	22, 25, 28	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
30	29	iffalsed 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
31	20, 30	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
32	31	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → if( -𝑁 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ -𝑁), (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
33	14, 32	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘ - -𝑁)))
34	7, 8, 11, 12	mulgnn 19285	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
35	34	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
36	5, 33, 35	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( -𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  seqcseq 14144  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  inv_gcminusg 19145  ._gcmg 19277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-mulg 19278

This theorem is used by:  mulgsubcl  19298  mulgneg  19302  mulgneg2  19318  cnfldmulg  21710  tgpmulg  24412  xrsmulgzz  33570  archiabllem1b  33753