Theorem nbfusgrlevtxm1 29664

Description: The number of neighbors of a vertex is at most the number of vertices of the graph minus 1 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbfusgrlevtxm1	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrnn0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5298	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V
4	1	nbgrssovtx 29648	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈}))
6		hashss 14441	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
7	3, 5, 6	sylancr 598	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
8	1	fusgrvtxfi 29606	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
9		hashdifsn 14447	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})) = ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
11	8, 10	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
12	7, 11	breqtrrd 5140	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  1c1 11097   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29283  FinUSGraphcfusgr 29603   NeighbVtx cnbgr 29619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-hash 14363  df-fusgr 29604  df-nbgr 29620

This theorem is referenced by: (None)