Theorem nbfusgrlevtxm1 29837

Description: The number of neighbors of a vertex is at most the number of vertices of the graph minus 1 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbfusgrlevtxm1	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrnn0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6892	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5295	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V
4	1	nbgrssovtx 29821	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈}))
6		hashss 14473	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
7	3, 5, 6	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
8	1	fusgrvtxfi 29779	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
9		hashdifsn 14479	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})) = ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
11	8, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
12	7, 11	breqtrrd 5133	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  1c1 11125   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  FinUSGraphcfusgr 29776   NeighbVtx cnbgr 29792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395  df-fusgr 29777  df-nbgr 29793

This theorem is used by: (None)