Theorem nbfusgrlevtxm1 29464

Description: The number of neighbors of a vertex is at most the number of vertices of the graph minus 1 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbfusgrlevtxm1	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnbusgrnn0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	difexi 5258	. . 3 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V
4	1	nbgrssovtx 29448	. . . 4 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈}))
6		hashss 14362	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
7	3, 5, 6	sylancr 593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
8	1	fusgrvtxfi 29406	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
9		hashdifsn 14367	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})) = ((♯‘𝑉) − 1))
10	9	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
11	8, 10	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) − 1) = (♯‘(𝑉 ∖ {𝑈})))
12	7, 11	breqtrrd 5100	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  1c1 11030   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29083  FinUSGraphcfusgr 29403   NeighbVtx cnbgr 29419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-fusgr 29404  df-nbgr 29420

This theorem is referenced by: (None)