Theorem nbusgrvtxm1 29787

Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, each vertex except the first mentioned vertex is a neighbor of this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashnbusgrnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgrvtxm1	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
2	1	2a1d 27	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))))
3		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉))
5		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → 𝑀 ∈ 𝑉)
6		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ≠ 𝑈)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → 𝑀 ≠ 𝑈)
8		df-nel 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ ¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
9	8	biranri 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
11		hashnbusgrnn0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	nbfusgrlevtxm2 29786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈 ∧ 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))
13	4, 5, 7, 10, 12	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))
14		breq1 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) ↔ ((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2)))
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) ↔ ((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2)))
16	11	fusgrvtxfi 29727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
17		hashcl 14410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
18		nn0re 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
19		1red 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
20		2re 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
22		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
23		1lt2 12428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → 1 < 2)
25	19, 21, 22, 24	ltsub2dd 11842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) − 2) < ((♯‘𝑉) − 1))
26	22, 21	resubcld 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) − 2) ∈ ℝ)
27		peano2rem 11540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℝ)
28	26, 27	ltnled 11372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → (((♯‘𝑉) − 2) < ((♯‘𝑉) − 1) ↔ ¬ ((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2)))
29	25, 28	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ¬ ((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))
30	16, 17, 18, 29	4syl 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ¬ ((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))
31	30	pm2.21d 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
33	32	ad3antlr 744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (((♯‘𝑉) − 1) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
34	15, 33	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
35	34	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
36	13, 35	mpid 45	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
37	36	ex 418	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
38	37	com23 87	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ∧ (𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉)) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
39	38	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))))
40	2, 39	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ≠ 𝑈) → 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℝcr 11114  1c1 11116   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ♯chash 14384  Vtxcvtx 29401  FinUSGraphcfusgr 29724   NeighbVtx cnbgr 29740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385  df-fusgr 29725  df-nbgr 29741

This theorem is used by:  nbusgrvtxm1uvtx  29813