MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim3 25715
Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
geolim3.b1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
geolim3.b2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < 1)
geolim3.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
geolim3.f ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
Assertion
Ref Expression
geolim3 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , ๐น) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘˜)

Proof of Theorem geolim3
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geolim3.f . . 3 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
2 seqeq3 13918 . . 3 (๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ seq๐ด( + , ๐น) = seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq๐ด( + , ๐น) = seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))))
4 nn0uz 12812 . . . . 5 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5 0zd 12518 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
6 geolim3.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7 geolim3.b1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 geolim3.b2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < 1)
9 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘Ž โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
10 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))
11 ovex 7395 . . . . . . . 8 (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 6953 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
1312adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
147, 8, 13geolim 15762 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ต)))
15 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
167, 15sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
1713, 16eqeltrd 2838 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
18 geolim3.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12615 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12430 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
21 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โˆˆ V
2221mptex 7178 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ V
2322shftval4 14969 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)))
2419, 20, 23syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)))
25 uzid 12785 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
2618, 25syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
27 uzaddcl 12836 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
2826, 27sylan 581 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
29 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))
3029oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)) = (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)))
3130oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
32 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
33 ovex 7395 . . . . . . . 8 (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
3431, 32, 33fvmpt 6953 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
3528, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
36 pncan2 11415 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
3719, 20, 36syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
3837oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
3938, 13eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž))
4039oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))) = (๐ถ ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž)))
4124, 35, 403eqtrd 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = (๐ถ ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž)))
424, 5, 6, 14, 17, 41isermulc2 15549 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ต))))
4319negidd 11509 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + -๐ด) = 0)
4443seqeq1d 13919 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) = seq0( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)))
45 ax-1cn 11116 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
46 subcl 11407 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4745, 7, 46sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
48 abs1 15189 . . . . . . . . 9 (absโ€˜1) = 1
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜1) = 1)
507abscld 15328 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
5150, 8gtned 11297 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  (absโ€˜๐ต))
5249, 51eqnetrd 3012 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜1) โ‰  (absโ€˜๐ต))
53 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (1 = ๐ต โ†’ (absโ€˜1) = (absโ€˜๐ต))
5453necon3i 2977 . . . . . . 7 ((absโ€˜1) โ‰  (absโ€˜๐ต) โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
56 subeq0 11434 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) = 0 โ†” 1 = ๐ต))
5745, 7, 56sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) = 0 โ†” 1 = ๐ต))
5857necon3bid 2989 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ต))
5955, 58mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
606, 47, 59divrecd 11941 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ต))))
6142, 44, 603brtr4d 5142 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
6218znegcld 12616 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
6322isershft 15555 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง -๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) โ†” seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต))))
6418, 62, 63syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) โ†” seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต))))
6561, 64mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
663, 65eqbrtrid 5145 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , ๐น) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974   shift cshi 14958  abscabs 15126   โ‡ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  25720
  Copyright terms: Public domain W3C validator