Theorem geolim3 25499

Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
geolim3	⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geolim3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
2		seqeq3 13726	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))))
4		nn0uz 12620	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0zd 12331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6		geolim3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		geolim3.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		geolim3.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑎))
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))
11		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑𝑎) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
14	7, 8, 13	geolim 15582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15		expcl 13800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
16	7, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
17	13, 16	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18		geolim3.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
21		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) ∈ V
22	21	mptex 7099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) ∈ V
23	22	shftval4 14788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
24	19, 20, 23	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25		uzid 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
27		uzaddcl 12644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
29		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘 − 𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
30	29	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
31	30	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
33		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
35	28, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36		pncan2 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
37	19, 20, 36	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
38	37	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵↑𝑎))
39	38, 13	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎))
40	39	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
41	24, 35, 40	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
42	4, 5, 6, 14, 17, 41	isermulc2 15369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
43	19	negidd 11322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
44	43	seqeq1d 13727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)))
45		ax-1cn 10929	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		subcl 11220	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	45, 7, 46	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48		abs1 15009	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
50	7	abscld 15148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	50, 8	gtned 11110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
52	49, 51	eqnetrd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
54	53	necon3i 2976	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
55	52, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56		subeq0 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
57	45, 7, 56	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
58	57	necon3bid 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
59	55, 58	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
60	6, 47, 59	divrecd 11754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
61	42, 44, 60	3brtr4d 5106	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
62	18	znegcld 12428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
63	22	isershft 15375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
64	18, 62, 63	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
65	61, 64	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
66	3, 65	eqbrtrid 5109	1 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  seqcseq 13721  ↑cexp 13782   shift cshi 14777  abscabs 14945   ⇝ cli 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  25504