Theorem geolim3 26263

Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
geolim3	⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geolim3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
2		seqeq3 13931	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))))
4		nn0uz 12795	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0zd 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6		geolim3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		geolim3.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		geolim3.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑎))
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))
11		ovex 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑𝑎) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
14	7, 8, 13	geolim 15795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15		expcl 14004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
16	7, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
17	13, 16	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18		geolim3.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
21		fvex 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) ∈ V
22	21	mptex 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) ∈ V
23	22	shftval4 15002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
24	19, 20, 23	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25		uzid 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
27		uzaddcl 12823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
29		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘 − 𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
30	29	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
31	30	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
33		ovex 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
35	28, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36		pncan2 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
37	19, 20, 36	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
38	37	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵↑𝑎))
39	38, 13	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎))
40	39	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
41	24, 35, 40	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
42	4, 5, 6, 14, 17, 41	isermulc2 15583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
43	19	negidd 11483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
44	43	seqeq1d 13932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)))
45		ax-1cn 11086	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		subcl 11380	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	45, 7, 46	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48		abs1 15222	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
50	7	abscld 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	50, 8	gtned 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
52	49, 51	eqnetrd 2992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
54	53	necon3i 2957	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
55	52, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56		subeq0 11408	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
57	45, 7, 56	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
58	57	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
60	6, 47, 59	divrecd 11921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
61	42, 44, 60	3brtr4d 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
62	18	znegcld 12600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
63	22	isershft 15589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
64	18, 62, 63	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
65	61, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
66	3, 65	eqbrtrid 5130	1 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  seqcseq 13926  ↑cexp 13986   shift cshi 14991  abscabs 15159   ⇝ cli 15409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  26268