Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim3 24938
 Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim3.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
Assertion
Ref Expression
geolim3 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geolim3.f . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
2 seqeq3 13373 . . 3 (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))))
4 nn0uz 12272 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
5 0zd 11985 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6 geolim3.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 geolim3.b1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 geolim3.b2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑎 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑎))
10 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))
11 ovex 7172 . . . . . . . 8 (𝐵𝑎) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
1312adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
147, 8, 13geolim 15221 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15 expcl 13447 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
167, 15sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
1713, 16eqeltrd 2893 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18 geolim3.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1918zcnd 12080 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
20 nn0cn 11899 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
21 fvex 6662 . . . . . . . . 9 (ℤ𝐴) ∈ V
2221mptex 6967 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) ∈ V
2322shftval4 14431 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
2419, 20, 23syl2an 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25 uzid 12250 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
2618, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
27 uzaddcl 12296 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
2826, 27sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
29 oveq1 7146 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
3029oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
3130oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
33 ovex 7172 . . . . . . . 8 (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6749 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
3528, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36 pncan2 10886 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3719, 20, 36syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3837oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵𝑎))
3938, 13eqtr4d 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎))
4039oveq2d 7155 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
4124, 35, 403eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
424, 5, 6, 14, 17, 41isermulc2 15009 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
4319negidd 10980 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
4443seqeq1d 13374 . . . 4 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)))
45 ax-1cn 10588 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
46 subcl 10878 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
4745, 7, 46sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48 abs1 14652 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) = 1)
507abscld 14791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5150, 8gtned 10768 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
5249, 51eqnetrd 3057 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
5453necon3i 3022 . . . . . . 7 ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56 subeq0 10905 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5745, 7, 56sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5857necon3bid 3034 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
5955, 58mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
606, 47, 59divrecd 11412 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
6142, 44, 603brtr4d 5065 . . 3 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
6218znegcld 12081 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
6322isershft 15015 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6418, 62, 63syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6561, 64mpbird 260 . 2 (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
663, 65eqbrtrid 5068 1 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   − cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368  ↑cexp 13429   shift cshi 14420  abscabs 14588   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24943
 Copyright terms: Public domain W3C validator