Theorem geolim3 25404

Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
geolim3	⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geolim3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
2		seqeq3 13654	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))))
4		nn0uz 12549	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0zd 12261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6		geolim3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		geolim3.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		geolim3.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑎))
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))
11		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑𝑎) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
14	7, 8, 13	geolim 15510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15		expcl 13728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
16	7, 15	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
17	13, 16	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18		geolim3.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
21		fvex 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) ∈ V
22	21	mptex 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) ∈ V
23	22	shftval4 14716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
24	19, 20, 23	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25		uzid 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
27		uzaddcl 12573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
28	26, 27	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
29		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘 − 𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
30	29	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
31	30	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
33		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
35	28, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36		pncan2 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
37	19, 20, 36	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
38	37	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵↑𝑎))
39	38, 13	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎))
40	39	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
41	24, 35, 40	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
42	4, 5, 6, 14, 17, 41	isermulc2 15297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
43	19	negidd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
44	43	seqeq1d 13655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)))
45		ax-1cn 10860	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		subcl 11150	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	45, 7, 46	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48		abs1 14937	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
50	7	abscld 15076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	50, 8	gtned 11040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
52	49, 51	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
54	53	necon3i 2975	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
55	52, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56		subeq0 11177	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
57	45, 7, 56	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
58	57	necon3bid 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
59	55, 58	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
60	6, 47, 59	divrecd 11684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
61	42, 44, 60	3brtr4d 5102	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
62	18	znegcld 12357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
63	22	isershft 15303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
64	18, 62, 63	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
65	61, 64	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
66	3, 65	eqbrtrid 5105	1 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  seqcseq 13649  ↑cexp 13710   shift cshi 14705  abscabs 14873   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  25409