Theorem geolim3 26304

Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
geolim3	⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geolim3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
2		seqeq3 14029	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))))
4		nn0uz 12899	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0zd 12605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6		geolim3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		geolim3.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		geolim3.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑎))
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))
11		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑𝑎) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
14	7, 8, 13	geolim 15891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15		expcl 14102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
16	7, 15	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
17	13, 16	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18		geolim3.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
21		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) ∈ V
22	21	mptex 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) ∈ V
23	22	shftval4 15101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
24	19, 20, 23	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25		uzid 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
27		uzaddcl 12925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
29		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘 − 𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
30	29	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
31	30	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
33		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
35	28, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36		pncan2 11494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
37	19, 20, 36	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
38	37	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵↑𝑎))
39	38, 13	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎))
40	39	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
41	24, 35, 40	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
42	4, 5, 6, 14, 17, 41	isermulc2 15679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
43	19	negidd 11589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
44	43	seqeq1d 14030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)))
45		ax-1cn 11192	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		subcl 11486	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	45, 7, 46	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48		abs1 15321	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
50	7	abscld 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	50, 8	gtned 11375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
52	49, 51	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
54	53	necon3i 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
55	52, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56		subeq0 11514	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
57	45, 7, 56	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
58	57	necon3bid 2977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
60	6, 47, 59	divrecd 12025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
61	42, 44, 60	3brtr4d 5156	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
62	18	znegcld 12704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
63	22	isershft 15685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
64	18, 62, 63	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
65	61, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
66	3, 65	eqbrtrid 5159	1 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  seqcseq 14024  ↑cexp 14084   shift cshi 15090  abscabs 15258   ⇝ cli 15505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  26309