Theorem geolim3 24621

Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
geolim3	⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geolim3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
2		seqeq3 13182	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))))
4		nn0uz 12087	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		0zd 11798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6		geolim3.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		geolim3.b1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		geolim3.b2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9		oveq2 6978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑎))
10		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))
11		ovex 7002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵↑𝑎) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
13	12	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) = (𝐵↑𝑎))
14	7, 8, 13	geolim 15076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15		expcl 13255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
16	7, 15	sylan 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑎) ∈ ℂ)
17	13, 16	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18		geolim3.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 11894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nn0cn 11711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
21		fvex 6506	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝐴) ∈ V
22	21	mptex 6806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) ∈ V
23	22	shftval4 14287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
24	19, 20, 23	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25		uzid 12066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
27		uzaddcl 12111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
28	26, 27	sylan 572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
29		oveq1 6977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘 − 𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
30	29	oveq2d 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
31	30	oveq2d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))
33		ovex 7002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
35	28, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36		pncan2 10685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
37	19, 20, 36	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
38	37	oveq2d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵↑𝑎))
39	38, 13	eqtr4d 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎))
40	39	oveq2d 6986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
41	24, 35, 40	3eqtrd 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑘))‘𝑎)))
42	4, 5, 6, 14, 17, 41	isermulc2 14865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
43	19	negidd 10780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
44	43	seqeq1d 13183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)))
45		ax-1cn 10385	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		subcl 10677	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	45, 7, 46	sylancr 578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48		abs1 14508	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) = 1)
50	7	abscld 14647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
51	50, 8	gtned 10567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
52	49, 51	eqnetrd 3028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53		fveq2 6493	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
54	53	necon3i 2993	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
55	52, 54	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56		subeq0 10705	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
57	45, 7, 56	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
58	57	necon3bid 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
59	55, 58	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
60	6, 47, 59	divrecd 11212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
61	42, 44, 60	3brtr4d 4955	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
62	18	znegcld 11895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
63	22	isershft 14871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
64	18, 62, 63	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
65	61, 64	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘 − 𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
66	3, 65	syl5eqbr 4958	1 ⊢ (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332   < clt 10466   − cmin 10662  -cneg 10663   / cdiv 11090  ℕ₀cn0 11700  ℤcz 11786  ℤ_≥cuz 12051  seqcseq 13177  ↑cexp 13237   shift cshi 14276  abscabs 14444   ⇝ cli 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-shft 14277  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24626