MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim3 25852
Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
geolim3.b1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
geolim3.b2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < 1)
geolim3.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
geolim3.f ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
Assertion
Ref Expression
geolim3 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , ๐น) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘˜)

Proof of Theorem geolim3
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geolim3.f . . 3 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
2 seqeq3 13971 . . 3 (๐น = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) โ†’ seq๐ด( + , ๐น) = seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq๐ด( + , ๐น) = seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))))
4 nn0uz 12864 . . . . 5 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
5 0zd 12570 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
6 geolim3.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7 geolim3.b1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 geolim3.b2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < 1)
9 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘Ž โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))
11 ovex 7442 . . . . . . . 8 (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ V
129, 10, 11fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
1312adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
147, 8, 13geolim 15816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ต)))
15 expcl 14045 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
167, 15sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
1713, 16eqeltrd 2834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
18 geolim3.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1918zcnd 12667 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
21 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โˆˆ V
2221mptex 7225 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) โˆˆ V
2322shftval4 15024 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)))
2419, 20, 23syl2an 597 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)))
25 uzid 12837 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
2618, 25syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
27 uzaddcl 12888 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
2826, 27sylan 581 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด))
29 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐ด) = ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))
3029oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)) = (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)))
3130oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐ด + ๐‘Ž) โ†’ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
32 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) = (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))
33 ovex 7442 . . . . . . . 8 (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))) โˆˆ V
3431, 32, 33fvmpt 6999 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐‘Ž) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
3528, 34syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))โ€˜(๐ด + ๐‘Ž)) = (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))))
36 pncan2 11467 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
3719, 20, 36syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด) = ๐‘Ž)
3837oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)) = (๐ตโ†‘๐‘Ž))
3938, 13eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž))
4039oveq2d 7425 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘((๐ด + ๐‘Ž) โˆ’ ๐ด))) = (๐ถ ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž)))
4124, 35, 403eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)โ€˜๐‘Ž) = (๐ถ ยท ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ตโ†‘๐‘˜))โ€˜๐‘Ž)))
424, 5, 6, 14, 17, 41isermulc2 15604 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ต))))
4319negidd 11561 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + -๐ด) = 0)
4443seqeq1d 13972 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) = seq0( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)))
45 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
46 subcl 11459 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4745, 7, 46sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
48 abs1 15244 . . . . . . . . 9 (absโ€˜1) = 1
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜1) = 1)
507abscld 15383 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
5150, 8gtned 11349 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  (absโ€˜๐ต))
5249, 51eqnetrd 3009 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜1) โ‰  (absโ€˜๐ต))
53 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (1 = ๐ต โ†’ (absโ€˜1) = (absโ€˜๐ต))
5453necon3i 2974 . . . . . . 7 ((absโ€˜1) โ‰  (absโ€˜๐ต) โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ต)
56 subeq0 11486 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) = 0 โ†” 1 = ๐ต))
5745, 7, 56sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) = 0 โ†” 1 = ๐ต))
5857necon3bid 2986 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ต))
5955, 58mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
606, 47, 59divrecd 11993 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ ยท (1 / (1 โˆ’ ๐ต))))
6142, 44, 603brtr4d 5181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
6218znegcld 12668 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„ค)
6322isershft 15610 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง -๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) โ†” seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต))))
6418, 62, 63syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)) โ†” seq(๐ด + -๐ด)( + , ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด)))) shift -๐ด)) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต))))
6561, 64mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด) โ†ฆ (๐ถ ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐ด))))) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
663, 65eqbrtrid 5184 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐ด( + , ๐น) โ‡ (๐ถ / (1 โˆ’ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027   shift cshi 15013  abscabs 15181   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  25857
  Copyright terms: Public domain W3C validator