MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim3 26319
Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim3.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
Assertion
Ref Expression
geolim3 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geolim3.f . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
2 seqeq3 14007 . . 3 (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))))
4 nn0uz 12897 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
5 0zd 12603 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6 geolim3.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 geolim3.b1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 geolim3.b2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑎 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑎))
10 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))
11 ovex 7452 . . . . . . . 8 (𝐵𝑎) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 7004 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
1312adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
147, 8, 13geolim 15852 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15 expcl 14080 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
167, 15sylan 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
1713, 16eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18 geolim3.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1918zcnd 12700 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
20 nn0cn 12515 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
21 fvex 6909 . . . . . . . . 9 (ℤ𝐴) ∈ V
2221mptex 7235 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) ∈ V
2322shftval4 15060 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
2419, 20, 23syl2an 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25 uzid 12870 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
2618, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
27 uzaddcl 12921 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
2826, 27sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
29 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
3029oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
3130oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
33 ovex 7452 . . . . . . . 8 (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 7004 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
3528, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36 pncan2 11499 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3719, 20, 36syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3837oveq2d 7435 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵𝑎))
3938, 13eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎))
4039oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
4124, 35, 403eqtrd 2769 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
424, 5, 6, 14, 17, 41isermulc2 15640 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
4319negidd 11593 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
4443seqeq1d 14008 . . . 4 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)))
45 ax-1cn 11198 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
46 subcl 11491 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
4745, 7, 46sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48 abs1 15280 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) = 1)
507abscld 15419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5150, 8gtned 11381 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
5249, 51eqnetrd 2997 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
5453necon3i 2962 . . . . . . 7 ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56 subeq0 11518 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5745, 7, 56sylancr 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5857necon3bid 2974 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
5955, 58mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
606, 47, 59divrecd 12026 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
6142, 44, 603brtr4d 5181 . . 3 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
6218znegcld 12701 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
6322isershft 15646 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6418, 62, 63syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6561, 64mpbird 256 . 2 (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
663, 65eqbrtrid 5184 1 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  seqcseq 14002  cexp 14062   shift cshi 15049  abscabs 15217  cli 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  26324
  Copyright terms: Public domain W3C validator