Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngagrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngagrp 46920
Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2zrngbas.r ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
2zrngagrp ๐‘… โˆˆ Grp
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ง

Proof of Theorem 2zrngagrp
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2 2zrngbas.r . . 3 ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
31, 22zrngamnd 46918 . 2 ๐‘… โˆˆ Mnd
4 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
54rexbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
65, 1elrab2 3686 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
7 znegcl 12599 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
87adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
9 nfv 1917 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค
10 nfre1 3282 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)
11 znegcl 12599 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = -๐‘ฅ โ†’ (2 ยท ๐‘ง) = (2 ยท -๐‘ฅ))
1514eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = -๐‘ฅ โ†’ (-๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ง) โ†” -๐‘ฆ = (2 ยท -๐‘ฅ)))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ง = -๐‘ฅ) โ†’ (-๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ง) โ†” -๐‘ฆ = (2 ยท -๐‘ฅ)))
17 negeq 11454 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†’ -๐‘ฆ = -(2 ยท ๐‘ฅ))
18 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
19 zcn 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2018, 19mulneg2d 11670 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท -๐‘ฅ) = -(2 ยท ๐‘ฅ))
2120eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -(2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท -๐‘ฅ))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -(2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท -๐‘ฅ))
2317, 22sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ -๐‘ฆ = (2 ยท -๐‘ฅ))
2413, 16, 23rspcedvd 3614 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ง))
25 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) = (2 ยท ๐‘ง))
2625eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (-๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ง)))
2726cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ง))
2824, 27sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ))
2928exp31 420 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ))))
309, 10, 29rexlimd 3263 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
3130imp 407 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ))
32 eqeq1 2736 . . . . . . . 8 (๐‘ง = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
3332rexbidv 3178 . . . . . . 7 (๐‘ง = -๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
3433, 1elrab2 3686 . . . . . 6 (-๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†” (-๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค -๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)))
358, 31, 34sylanbrc 583 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ฆ = (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ)
366, 35sylbi 216 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ)
37 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ง = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง + ๐‘ฆ) = (-๐‘ฆ + ๐‘ฆ))
3837eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ง = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ง + ๐‘ฆ) = 0 โ†” (-๐‘ฆ + ๐‘ฆ) = 0))
3938adantl 482 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ง = -๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ง + ๐‘ฆ) = 0 โ†” (-๐‘ฆ + ๐‘ฆ) = 0))
40 elrabi 3677 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4140, 1eleq2s 2851 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
4241zcnd 12669 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4342negcld 11560 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4443, 42addcomd 11418 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ (-๐‘ฆ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + -๐‘ฆ))
4542negidd 11563 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘ฆ + -๐‘ฆ) = 0)
4644, 45eqtrd 2772 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ (-๐‘ฆ + ๐‘ฆ) = 0)
4736, 39, 46rspcedvd 3614 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ธ (๐‘ง + ๐‘ฆ) = 0)
4847rgen 3063 . 2 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ธ (๐‘ง + ๐‘ฆ) = 0
491, 22zrngbas 46913 . . 3 ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘…)
501, 22zrngadd 46914 . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
511, 22zrng0 46915 . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5249, 50, 51isgrp 18827 . 2 (๐‘… โˆˆ Grp โ†” (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ธ (๐‘ง + ๐‘ฆ) = 0))
533, 48, 52mpbir2an 709 1 ๐‘… โˆˆ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11447  2c2 12269  โ„คcz 12560   โ†พs cress 17175  Mndcmnd 18627  Grpcgrp 18821  โ„‚fldccnfld 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ring 20060  df-cring 20061  df-cnfld 20951
This theorem is referenced by:  2zrngaabl  46921
  Copyright terms: Public domain W3C validator