Theorem 2zrngagrp 46831

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngamnd 46829	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
4		eqeq1 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
6	5, 1	elrab2 3686	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7		znegcl 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10		nfre1 3282	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11		znegcl 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
15	14	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17		negeq 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18		2cnd 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19		zcn 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulneg2d 11667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
21	20	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
23	17, 22	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
24	13, 16, 23	rspcedvd 3614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
26	25	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (-𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
27	26	cbvrexvw 3235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
28	24, 27	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
29	28	exp31 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
30	9, 10, 29	rexlimd 3263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
31	30	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
33	32	rexbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
34	33, 1	elrab2 3686	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
35	8, 31, 34	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ 𝐸)
36	6, 35	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ 𝐸)
37		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = (-𝑦 + 𝑦))
38	37	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
39	38	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
40		elrabi 3677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40, 1	eleq2s 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	negcld 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
44	43, 42	addcomd 11415	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
45	42	negidd 11560	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
46	44, 45	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = 0)
47	36, 39, 46	rspcedvd 3614	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
48	47	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
49	1, 2	2zrngbas 46824	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
50	1, 2	2zrngadd 46825	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
51	1, 2	2zrng0 46826	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	49, 50, 51	isgrp 18824	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
53	3, 48, 52	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  (class class class)co 7408  0cc0 11109   + caddc 11112   · cmul 11114  -cneg 11444  2c2 12266  ℤcz 12557   ↾_s cress 17172  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  ℂ_fldccnfld 20943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  46832