Theorem 2zrngagrp 48532

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngamnd 48530	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
4		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
6	5, 1	elrab2 3648	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7		znegcl 12528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10		nfre1 3260	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11		znegcl 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
15	14	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17		negeq 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18		2cnd 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19		zcn 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulneg2d 11593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
21	20	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
23	17, 22	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
24	13, 16, 23	rspcedvd 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
26	25	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (-𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
27	26	cbvrexvw 3214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
28	24, 27	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
29	28	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
30	9, 10, 29	rexlimd 3242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
31	30	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
33	32	rexbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
34	33, 1	elrab2 3648	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
35	8, 31, 34	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ 𝐸)
36	6, 35	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ 𝐸)
37		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = (-𝑦 + 𝑦))
38	37	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
39	38	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
40		elrabi 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40, 1	eleq2s 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	negcld 11481	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
44	43, 42	addcomd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
45	42	negidd 11484	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
46	44, 45	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = 0)
47	36, 39, 46	rspcedvd 3577	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
48	47	rgen 3052	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
49	1, 2	2zrngbas 48525	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
50	1, 2	2zrngadd 48526	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
51	1, 2	2zrng0 48527	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	49, 50, 51	isgrp 18871	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
53	3, 48, 52	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398  (class class class)co 7358  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033  -cneg 11367  2c2 12202  ℤcz 12490   ↾_s cress 17159  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865  ℂ_fldccnfld 21311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-cmn 19713  df-mgp 20078  df-ring 20172  df-cring 20173  df-cnfld 21312

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  48533