Theorem 2zrngagrp 49549

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngamnd 49547	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
4		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
6	5, 1	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7		znegcl 12755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10		nfre1 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11		znegcl 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
15	14	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ( -𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → ( -𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17		negeq 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18		2cnd 12445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19		zcn 12722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulneg2d 11794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
21	20	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
23	17, 22	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
24	13, 16, 23	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ( -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
27	26	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
28	24, 27	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
29	28	exp31 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
30	9, 10, 29	rexlimd 3273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
31	30	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
33	32	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
34	33, 1	elrab2 3652	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑦 ∈ 𝐸 ↔ ( -𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
35	8, 31, 34	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ 𝐸)
36	6, 35	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ 𝐸)
37		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = ( -𝑦 + 𝑦))
38	37	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ ( -𝑦 + 𝑦) = 0))
39	38	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ ( -𝑦 + 𝑦) = 0))
40		elrabi 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40, 1	eleq2s 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	negcld 11680	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
44	43, 42	addcomd 11536	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ( -𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
45	42	negidd 11683	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
46	44, 45	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ( -𝑦 + 𝑦) = 0)
47	36, 39, 46	rspcedvd 3582	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
48	47	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
49	1, 2	2zrngbas 49542	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
50	1, 2	2zrngadd 49543	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
51	1, 2	2zrng0 49544	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	49, 50, 51	isgrp 19176	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
53	3, 48, 52	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  (class class class)co 7440  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229   -cneg 11566  2c2 12421  ℤcz 12717   ↾_s cress 17434  Mndcmnd 18949  Grpcgrp 19170  ℂ_fldccnfld 21705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-cmn 20023  df-mgp 20388  df-ring 20488  df-cring 20489  df-cnfld 21706

This theorem is used by:  2zrngaabl  49550