Theorem 2zrngagrp 47362

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngamnd 47360	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
4		eqeq1 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3174	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
6	5, 1	elrab2 3685	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7		znegcl 12633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
8	7	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10		nfre1 3278	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11		znegcl 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
12	11	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
13	12	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
15	14	eqeq2d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
16	15	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17		negeq 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18		2cnd 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19		zcn 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulneg2d 11704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
21	20	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
22	21	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
23	17, 22	sylan9eqr 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
24	13, 16, 23	rspcedvd 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
26	25	eqeq2d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (-𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
27	26	cbvrexvw 3231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
28	24, 27	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
29	28	exp31 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
30	9, 10, 29	rexlimd 3259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
31	30	imp 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32		eqeq1 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
33	32	rexbidv 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
34	33, 1	elrab2 3685	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
35	8, 31, 34	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ 𝐸)
36	6, 35	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ 𝐸)
37		oveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = (-𝑦 + 𝑦))
38	37	eqeq1d 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
39	38	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
40		elrabi 3676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40, 1	eleq2s 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	negcld 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
44	43, 42	addcomd 11452	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
45	42	negidd 11597	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
46	44, 45	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = 0)
47	36, 39, 46	rspcedvd 3611	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
48	47	rgen 3059	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
49	1, 2	2zrngbas 47355	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
50	1, 2	2zrngadd 47356	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
51	1, 2	2zrng0 47357	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	49, 50, 51	isgrp 18901	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
53	3, 48, 52	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  {crab 3428  (class class class)co 7424  0cc0 11144   + caddc 11147   · cmul 11149  -cneg 11481  2c2 12303  ℤcz 12594   ↾_s cress 17214  Mndcmnd 18699  Grpcgrp 18895  ℂ_fldccnfld 21284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-cmn 19742  df-mgp 20080  df-ring 20180  df-cring 20181  df-cnfld 21285

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  47363