Theorem 2zrngagrp 44567

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3	1, 2	2zrngamnd 44565	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
4		eqeq1 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
5	4	rexbidv 3256	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
6	5, 1	elrab2 3631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7		znegcl 12005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10		nfre1 3265	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11		znegcl 12005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
12	11	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
15	14	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17		negeq 10867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19		zcn 11974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
20	18, 19	mulneg2d 11083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
21	20	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
22	21	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
23	17, 22	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
24	13, 16, 23	rspcedvd 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
26	25	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (-𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
27	26	cbvrexvw 3397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
28	24, 27	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
29	28	exp31 423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
30	9, 10, 29	rexlimd 3276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
31	30	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32		eqeq1 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
33	32	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
34	33, 1	elrab2 3631	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ 𝐸 ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
35	8, 31, 34	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ 𝐸)
36	6, 35	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ 𝐸)
37		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = (-𝑦 + 𝑦))
38	37	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
39	38	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
40		elrabi 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
41	40, 1	eleq2s 2908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℤ)
42	41	zcnd 12076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	negcld 10973	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
44	43, 42	addcomd 10831	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
45	42	negidd 10976	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
46	44, 45	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = 0)
47	36, 39, 46	rspcedvd 3574	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐸 → ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
48	47	rgen 3116	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
49	1, 2	2zrngbas 44560	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
50	1, 2	2zrngadd 44561	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
51	1, 2	2zrng0 44562	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
52	49, 50, 51	isgrp 18101	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ∃𝑧 ∈ 𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
53	3, 48, 52	mpbir2an 710	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  (class class class)co 7135  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860  2c2 11680  ℤcz 11969   ↾_s cress 16476  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  ℂ_fldccnfld 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-cring 19293  df-cnfld 20092

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  44568