Theorem negexpidd 42698

Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
negexpidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
negexpidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negexpidd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		negexpidd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	reexpcld 14204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5	4	negidd 11611	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0)
6	1	recnd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
9	8	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
10		nn0z 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ))
12		negexpidd.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13	11, 12	jctird 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
14	2, 13	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15		m1expo 16413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1))
17	14, 16	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) = -1)
18	17	oveq1d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (-1 · (𝐴↑𝑁)))
19	4	mulm1d 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑𝑁)) = -(𝐴↑𝑁))
20	18, 19	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
21		neg1cn 12381	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
23	22, 6, 2	mulexpd 14202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 · 𝐴)↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
24	20, 23	eqtr4d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
25	9, 24	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
26	25	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)))
27	26	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0))
28	5, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  -cneg 11494  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104  df-dvds 16292

This theorem is referenced by:  3cubeslem3r  42703