Theorem negexpidd 42799

Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
negexpidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
negexpidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negexpidd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		negexpidd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	reexpcld 14072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5	4	negidd 11469	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0)
6	1	recnd 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
9	8	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
10		nn0z 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ))
12		negexpidd.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13	11, 12	jctird 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
14	2, 13	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15		m1expo 16288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1))
17	14, 16	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) = -1)
18	17	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (-1 · (𝐴↑𝑁)))
19	4	mulm1d 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑𝑁)) = -(𝐴↑𝑁))
20	18, 19	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
21		neg1cn 12117	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
23	22, 6, 2	mulexpd 14070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 · 𝐴)↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
24	20, 23	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
25	9, 24	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
26	25	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)))
27	26	eqeq1d 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0))
28	5, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  -cneg 11352  2c2 12187  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ↑cexp 13970   ∥ cdvds 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  3cubeslem3r  42804