Theorem negexpidd 43786

Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
negexpidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
negexpidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + ( -𝐴↑𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negexpidd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		negexpidd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	reexpcld 14310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5	4	negidd 11663	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0)
6	1	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = ( -1 · 𝐴))
9	8	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴↑𝑁) = (( -1 · 𝐴)↑𝑁))
10		nn0z 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ))
12		negexpidd.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13	11, 12	jctird 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
14	2, 13	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15		m1expo 16551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1))
17	14, 16	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( -1↑𝑁) = -1)
18	17	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( -1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = ( -1 · (𝐴↑𝑁)))
19	4	mulm1d 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -1 · (𝐴↑𝑁)) = -(𝐴↑𝑁))
20	18, 19	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = (( -1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
21		neg1cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
23	22, 6, 2	mulexpd 14308	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( -1 · 𝐴)↑𝑁) = (( -1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
24	20, 23	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = (( -1 · 𝐴)↑𝑁))
25	9, 24	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
26	25	oveq2d 7437	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + ( -𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)))
27	26	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + ( -𝐴↑𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0))
28	5, 27	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + ( -𝐴↑𝑁)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   -cneg 11546  2c2 12401  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ↑cexp 14208   ∥ cdvds 16428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-seq 14149  df-exp 14209  df-dvds 16429

This theorem is used by:  3cubeslem3r  43791