Theorem negexpidd 43396

Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
negexpidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
negexpidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negexpidd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		negexpidd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	reexpcld 14201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5	4	negidd 11560	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0)
6	1	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
9	8	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
10		nn0z 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ))
12		negexpidd.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13	11, 12	jctird 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
14	2, 13	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15		m1expo 16434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1))
17	14, 16	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) = -1)
18	17	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (-1 · (𝐴↑𝑁)))
19	4	mulm1d 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑𝑁)) = -(𝐴↑𝑁))
20	18, 19	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
21		neg1cn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
23	22, 6, 2	mulexpd 14199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 · 𝐴)↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
24	20, 23	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
25	9, 24	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
26	25	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)))
27	26	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0))
28	5, 27	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  -cneg 11443  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16312

This theorem is referenced by:  3cubeslem3r  43401