Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  negexpidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negexpidd 42670
Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
negexpidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
negexpidd (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (-𝐴𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd
StepHypRef Expression
1 negexpidd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 negexpidd.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2reexpcld 14200 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
43recnd 11287 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
54negidd 11608 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + -(𝐴𝑁)) = 0)
61recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76mulm1d 11713 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
87eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
98oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐴𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
10 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ))
12 negexpidd.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
1311, 12jctird 526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
142, 13mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15 m1expo 16409 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1))
1714, 16mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑁) = -1)
1817oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (𝐴𝑁)) = (-1 · (𝐴𝑁)))
194mulm1d 11713 . . . . . . 7 (𝜑 → (-1 · (𝐴𝑁)) = -(𝐴𝑁))
2018, 19eqtr2d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝐴𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴𝑁)))
21 neg1cn 12378 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
2322, 6, 2mulexpd 14198 . . . . . 6 (𝜑 → ((-1 · 𝐴)↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴𝑁)))
2420, 23eqtr4d 2778 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐴𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
259, 24eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (-𝐴𝑁) = -(𝐴𝑁))
2625oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (-𝐴𝑁)) = ((𝐴𝑁) + -(𝐴𝑁)))
2726eqeq1d 2737 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑁) + (-𝐴𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴𝑁) + -(𝐴𝑁)) = 0))
285, 27mpbird 257 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (-𝐴𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  3cubeslem3r  42675
  Copyright terms: Public domain W3C validator