Theorem negexpidd 41885

Description: The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
negexpidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
negexpidd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
negexpidd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
negexpidd	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Proof of Theorem negexpidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negexpidd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		negexpidd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	reexpcld 14135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5	4	negidd 11568	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0)
6	1	recnd 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	mulm1d 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
8	7	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 = (-1 · 𝐴))
9	8	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
10		nn0z 12590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ))
12		negexpidd.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13	11, 12	jctird 526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)))
14	2, 13	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
15		m1expo 16325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1))
17	14, 16	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) = -1)
18	17	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = (-1 · (𝐴↑𝑁)))
19	4	mulm1d 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑𝑁)) = -(𝐴↑𝑁))
20	18, 19	eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
21		neg1cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
23	22, 6, 2	mulexpd 14133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1 · 𝐴)↑𝑁) = ((-1↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
24	20, 23	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐴↑𝑁) = ((-1 · 𝐴)↑𝑁))
25	9, 24	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐴↑𝑁) = -(𝐴↑𝑁))
26	25	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)))
27	26	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0 ↔ ((𝐴↑𝑁) + -(𝐴↑𝑁)) = 0))
28	5, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (-𝐴↑𝑁)) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  -cneg 11452  2c2 12274  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ↑cexp 14034   ∥ cdvds 16204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035  df-dvds 16205

This theorem is referenced by:  3cubeslem3r  41890