Theorem dcubic1lem 26730

Description: Lemma for dcubic1 26732 and dcubic2 26731: simplify the cubic equation under the substitution 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1lem	⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Proof of Theorem dcubic1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		3nn0 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		expcl 14050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
5	4	sqvald 14113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) = ((𝑈↑3) · (𝑈↑3)))
6	5	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) = (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)))
7		dcubic2.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
8		3z 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	expne0d 14122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
11	4, 4, 10	divcan4d 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = (𝑈↑3))
12	6, 11	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) = (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)))
13		dcubic.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
14		dcubic.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
15		dcubic.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
16		3cn 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
18		3ne0 12322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
20	15, 17, 19	divcld 11994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
21	14, 20	eqeltrd 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		expcl 14050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
23	21, 2, 22	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
24	23, 4, 10	divcld 11994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
25	13, 24	negsubd 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
26	13, 4, 10	divcan4d 12000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = 𝑄)
27	26	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
28	25, 27	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
29		dcubic.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
30	15, 29	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	negcld 11562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
32	24	negcld 11562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
33	31, 32, 30, 13	add42d 11447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
34	15, 29	mulneg2d 11672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = -(𝑃 · 𝑋))
35		dcubic2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
36	35	negeqd 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
37	21, 1, 7	divcld 11994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
38	1, 37	negsubdid 11590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)) = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
39	36, 38	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
40	39	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
41	34, 40	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
42	1	negcld 11562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
43	15, 42, 37	adddid 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))) = ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
44	15, 1	mulneg2d 11672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑈) = -(𝑃 · 𝑈))
45	44	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
46	41, 43, 45	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
47	46	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
48	15, 1	mulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
49	48	negcld 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
50	15, 37	mulcld 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) ∈ ℂ)
51	49, 50, 32	addassd 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
52	47, 51	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
53	52	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
54	31, 30	addcomd 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)))
55	30	negidd 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = 0)
57	56	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
58	13, 32	addcld 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
59	58	addlidd 11419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
60	57, 59	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
61	33, 53, 60	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
62	13, 4	mulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
63	62, 23, 4, 10	divsubdird 12033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
64	28, 61, 63	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)))
65	12, 64	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
66	1, 37	negsubd 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
67	35, 66	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)))
68	67	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3))
69	37	negcld 11562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
70		binom3 14192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ) → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
71	1, 69, 70	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
72	1	sqcld 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
73	72, 37	mulneg2d 11672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)))
74	72, 21, 1, 7	div12d 12030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)))
75	1	sqvald 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑2) = (𝑈 · 𝑈))
76	75	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈))
77	1, 1, 7	divcan4d 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈) = 𝑈)
78	76, 77	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = 𝑈)
79	78	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
80	74, 79	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
81	80	negeqd 11458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
82	73, 81	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
83	82	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = (3 · -(𝑀 · 𝑈)))
84	21, 1	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑈) ∈ ℂ)
85	17, 84	mulneg2d 11672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · -(𝑀 · 𝑈)) = -(3 · (𝑀 · 𝑈)))
86	17, 21, 1	mulassd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (3 · (𝑀 · 𝑈)))
87	14	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑀) = (3 · (𝑃 / 3)))
88	15, 17, 19	divcan2d 11996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃 / 3)) = 𝑃)
89	87, 88	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑀) = 𝑃)
90	89	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (𝑃 · 𝑈))
91	86, 90	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑀 · 𝑈)) = (𝑃 · 𝑈))
92	91	negeqd 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(3 · (𝑀 · 𝑈)) = -(𝑃 · 𝑈))
93	83, 85, 92	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = -(𝑃 · 𝑈))
94	93	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) = ((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)))
95		sqneg 14086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
96	37, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
97	37	sqvald 14113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
98	96, 97	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
99	98	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
100	1, 37, 37	mulassd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
101	21, 1, 7	divcan2d 11996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) = 𝑀)
102	101	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
103	99, 100, 102	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
104	103	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
105	17, 21, 37	mulassd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
106	89	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
107	104, 105, 106	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
108		3nn 12295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
110		n2dvds3 16321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
112		oexpneg 16295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
113	37, 109, 111, 112	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
114	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
115	21, 1, 7, 114	expdivd 14130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑3) = ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
116	115	negeqd 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
117	113, 116	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
118	107, 117	oveq12d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3)) = ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
119	94, 118	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
120	68, 71, 119	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
121	50, 32	addcld 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
122	4, 49, 121	addassd 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
123	120, 122	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
124	123	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
125	49, 121	addcld 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
126	30, 13	addcld 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
127	4, 125, 126	addassd 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
128	124, 127	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
129	4	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
130	62, 23	subcld 11575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
131	129, 130, 4, 10	divdird 12032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
132	65, 128, 131	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)))
133	132	eqeq1d 2728	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0))
134	129, 130	addcld 11237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
135	134, 4, 10	diveq0ad 12004	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
136	133, 135	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ↑cexp 14032   ∥ cdvds 16204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dvds 16205

This theorem is referenced by:  dcubic2  26731  dcubic1  26732