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Theorem dcubic1lem 24861
Description: Lemma for dcubic1 24863 and dcubic2 24862: simplify the cubic equation under the substitution 𝑋 = 𝑈𝑀 / 𝑈. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z (𝜑𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 3nn0 11558 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3 expcl 13085 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
54sqvald 13212 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) = ((𝑈↑3) · (𝑈↑3)))
65oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) = (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)))
7 dcubic2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ≠ 0)
8 3z 11657 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
101, 7, 9expne0d 13221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
114, 4, 10divcan4d 11061 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = (𝑈↑3))
126, 11eqtr2d 2800 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈↑3) = (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)))
13 dcubic.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
14 dcubic.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
15 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
16 3cn 11353 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
18 3ne0 11385 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≠ 0)
2015, 17, 19divcld 11055 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
2114, 20eqeltrd 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
22 expcl 13085 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2321, 2, 22sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2423, 4, 10divcld 11055 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
2513, 24negsubd 10652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2613, 4, 10divcan4d 11061 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = 𝑄)
2726oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2825, 27eqtr4d 2802 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
29 dcubic.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3015, 29mulcld 10314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3130negcld 10633 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3224negcld 10633 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
3331, 32, 30, 13add42d 10519 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
3415, 29mulneg2d 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = -(𝑃 · 𝑋))
35 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3635negeqd 10529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -𝑋 = -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3721, 1, 7divcld 11055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
381, 37negsubdid 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)) = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
3936, 38eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -𝑋 = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
4039oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
4134, 40eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
421negcld 10633 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
4315, 42, 37adddid 10318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))) = ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4415, 1mulneg2d 10738 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑈) = -(𝑃 · 𝑈))
4544oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4641, 43, 453eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4746oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
4815, 1mulcld 10314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
4948negcld 10633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
5015, 37mulcld 10314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5149, 50, 32addassd 10316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5247, 51eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5352oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
5431, 30addcomd 10492 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)))
5530negidd 10636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)) = 0)
5654, 55eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = 0)
5756oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5813, 32addcld 10313 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5958addid2d 10491 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6057, 59eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6133, 53, 603eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6213, 4mulcld 10314 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
6362, 23, 4, 10divsubdird 11094 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6428, 61, 633eqtr4d 2809 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)))
6512, 64oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
661, 37negsubd 10652 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
6735, 66eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)))
6867oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3))
6937negcld 10633 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
70 binom3 13192 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ) → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
711, 69, 70syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
721sqcld 13213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
7372, 37mulneg2d 10738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)))
7472, 21, 1, 7div12d 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)))
751sqvald 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈↑2) = (𝑈 · 𝑈))
7675oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈))
771, 1, 7divcan4d 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈) = 𝑈)
7876, 77eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = 𝑈)
7978oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8074, 79eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8180negeqd 10529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8273, 81eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8382oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = (3 · -(𝑀 · 𝑈)))
8421, 1mulcld 10314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · 𝑈) ∈ ℂ)
8517, 84mulneg2d 10738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · -(𝑀 · 𝑈)) = -(3 · (𝑀 · 𝑈)))
8617, 21, 1mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (3 · (𝑀 · 𝑈)))
8714oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑀) = (3 · (𝑃 / 3)))
8815, 17, 19divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · (𝑃 / 3)) = 𝑃)
8987, 88eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑀) = 𝑃)
9089oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (𝑃 · 𝑈))
9186, 90eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (𝑀 · 𝑈)) = (𝑃 · 𝑈))
9291negeqd 10529 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(3 · (𝑀 · 𝑈)) = -(𝑃 · 𝑈))
9383, 85, 923eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = -(𝑃 · 𝑈))
9493oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) = ((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)))
95 sqneg 13130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9637, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9737sqvald 13212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9896, 97eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9998oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
1001, 37, 37mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
10121, 1, 7divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) = 𝑀)
102101oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
10399, 100, 1023eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
104103oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10517, 21, 37mulassd 10317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10689oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
107104, 105, 1063eqtr2d 2805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
108 3nn 11351 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
110 2nn 11345 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
111 1nn0 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
112 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
113 2t1e2 11441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
114113oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
115 2p1e3 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 1) = 3
116114, 115eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) + 1) = 3
117 1lt2 11449 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
118110, 111, 112, 116, 117ndvdsi 15419 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 ∥ 3
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
120 oexpneg 15353 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
12137, 109, 119, 120syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
1222a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
12321, 1, 7, 122expdivd 13229 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑3) = ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
124123negeqd 10529 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
125121, 124eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
126107, 125oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3)) = ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
12794, 126oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12868, 71, 1273eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑3) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12950, 32addcld 10313 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
1304, 49, 129addassd 10316 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
131128, 130eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
132131oveq1d 6857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
13349, 129addcld 10313 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
13430, 13addcld 10313 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
1354, 133, 134addassd 10316 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
136132, 135eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
1374sqcld 13213 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
13862, 23subcld 10646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
139137, 138, 4, 10divdird 11093 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
14065, 136, 1393eqtr4d 2809 . . 3 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)))
141140eqeq1d 2767 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0))
142137, 138addcld 10313 . . 3 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
143142, 4, 10diveq0ad 11065 . 2 (𝜑 → (((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
144141, 143bitrd 270 1 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  0cn0 11538  cz 11624  cexp 13067  cdvds 15267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-dvds 15268
This theorem is referenced by:  dcubic2  24862  dcubic1  24863
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