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Theorem dcubic1lem 26901
Description: Lemma for dcubic1 26903 and dcubic2 26902: simplify the cubic equation under the substitution 𝑋 = 𝑈𝑀 / 𝑈. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z (𝜑𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 3nn0 12542 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3 expcl 14117 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
54sqvald 14180 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) = ((𝑈↑3) · (𝑈↑3)))
65oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) = (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)))
7 dcubic2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ≠ 0)
8 3z 12648 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
101, 7, 9expne0d 14189 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
114, 4, 10divcan4d 12047 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = (𝑈↑3))
126, 11eqtr2d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈↑3) = (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)))
13 dcubic.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
14 dcubic.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
15 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
16 3cn 12345 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
18 3ne0 12370 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≠ 0)
2015, 17, 19divcld 12041 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
2114, 20eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
22 expcl 14117 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2321, 2, 22sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
2423, 4, 10divcld 12041 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
2513, 24negsubd 11624 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2613, 4, 10divcan4d 12047 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = 𝑄)
2726oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
2825, 27eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
29 dcubic.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
3015, 29mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3130negcld 11605 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
3224negcld 11605 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
3331, 32, 30, 13add42d 11489 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
3415, 29mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = -(𝑃 · 𝑋))
35 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3635negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -𝑋 = -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
3721, 1, 7divcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
381, 37negsubdid 11633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)) = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
3936, 38eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -𝑋 = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
4039oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
4134, 40eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
421negcld 11605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
4315, 42, 37adddid 11283 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))) = ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4415, 1mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · -𝑈) = -(𝑃 · 𝑈))
4544oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4641, 43, 453eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
4746oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
4815, 1mulcld 11279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
4948negcld 11605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
5015, 37mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5149, 50, 32addassd 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5247, 51eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5352oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
5431, 30addcomd 11461 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)))
5530negidd 11608 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)) = 0)
5654, 55eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = 0)
5756oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
5813, 32addcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
5958addlidd 11460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6057, 59eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6133, 53, 603eqtr3d 2783 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6213, 4mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
6362, 23, 4, 10divsubdird 12080 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
6428, 61, 633eqtr4d 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)))
6512, 64oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
661, 37negsubd 11624 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
6735, 66eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)))
6867oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3))
6937negcld 11605 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
70 binom3 14260 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ) → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
711, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
721sqcld 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
7372, 37mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)))
7472, 21, 1, 7div12d 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)))
751sqvald 14180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈↑2) = (𝑈 · 𝑈))
7675oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈))
771, 1, 7divcan4d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈) = 𝑈)
7876, 77eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = 𝑈)
7978oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8074, 79eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
8180negeqd 11500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8273, 81eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = (3 · -(𝑀 · 𝑈)))
8421, 1mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · 𝑈) ∈ ℂ)
8517, 84mulneg2d 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · -(𝑀 · 𝑈)) = -(3 · (𝑀 · 𝑈)))
8617, 21, 1mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (3 · (𝑀 · 𝑈)))
8714oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑀) = (3 · (𝑃 / 3)))
8815, 17, 19divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · (𝑃 / 3)) = 𝑃)
8987, 88eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑀) = 𝑃)
9089oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (𝑃 · 𝑈))
9186, 90eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (𝑀 · 𝑈)) = (𝑃 · 𝑈))
9291negeqd 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(3 · (𝑀 · 𝑈)) = -(𝑃 · 𝑈))
9383, 85, 923eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = -(𝑃 · 𝑈))
9493oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) = ((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)))
95 sqneg 14153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9637, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
9737sqvald 14180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9896, 97eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
9998oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
1001, 37, 37mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
10121, 1, 7divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) = 𝑀)
102101oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
10399, 100, 1023eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
104103oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10517, 21, 37mulassd 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
10689oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
107104, 105, 1063eqtr2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
108 3nn 12343 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
110 n2dvds3 16405 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 ∥ 3
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
112 oexpneg 16379 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
11337, 109, 111, 112syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
1142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
11521, 1, 7, 114expdivd 14197 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑3) = ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
116115negeqd 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
117113, 116eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
118107, 117oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3)) = ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
11994, 118oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12068, 71, 1193eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋↑3) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
12150, 32addcld 11278 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
1224, 49, 121addassd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
123120, 122eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
124123oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
12549, 121addcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
12630, 13addcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
1274, 125, 126addassd 11281 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
128124, 127eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
1294sqcld 14181 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
13062, 23subcld 11618 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
131129, 130, 4, 10divdird 12079 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
13265, 128, 1313eqtr4d 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)))
133132eqeq1d 2737 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0))
134129, 130addcld 11278 . . 3 (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
135134, 4, 10diveq0ad 12051 . 2 (𝜑 → (((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
136133, 135bitrd 279 1 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  dcubic2  26902  dcubic1  26903
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