dcubic1lem - Metamath Proof Explorer

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Theorem dcubic1lem 26769

Description: Lemma for dcubic1 26771 and dcubic2 26770: simplify the cubic equation under the substitution 𝑋 = 𝑈 − 𝑀 / 𝑈. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
dcubic2.z	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
dcubic2.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))

**Assertion**
Ref	Expression
dcubic1lem	⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

**Proof of Theorem dcubic1lem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		3nn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
3		expcl 14004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ∈ ℂ)
5	4	sqvald 14068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) = ((𝑈↑3) · (𝑈↑3)))
6	5	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) = (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)))
7		dcubic2.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
8		3z 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
10	1, 7, 9	expne0d 14077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) ≠ 0)
11	4, 4, 10	divcan4d 11924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = (𝑈↑3))
12	6, 11	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑3) = (((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)))
13		dcubic.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
14		dcubic.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
15		dcubic.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
16		3cn 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
18		3ne0 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
20	15, 17, 19	divcld 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
21	14, 20	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		expcl 14004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
23	21, 2, 22	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
24	23, 4, 10	divcld 11918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
25	13, 24	negsubd 11499	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
26	13, 4, 10	divcan4d 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) = 𝑄)
27	26	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (𝑄 − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
28	25, 27	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
29		dcubic.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
30	15, 29	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
31	30	negcld 11480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) ∈ ℂ)
32	24	negcld 11480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
33	31, 32, 30, 13	add42d 11364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
34	15, 29	mulneg2d 11592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = -(𝑃 · 𝑋))
35		dcubic2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
36	35	negeqd 11375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
37	21, 1, 7	divcld 11918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
38	1, 37	negsubdid 11508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → -(𝑈 − (𝑀 / 𝑈)) = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
39	36, 38	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -𝑋 = (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈)))
40	39	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
41	34, 40	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))))
42	1	negcld 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℂ)
43	15, 42, 37	adddid 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (-𝑈 + (𝑀 / 𝑈))) = ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
44	15, 1	mulneg2d 11592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · -𝑈) = -(𝑃 · 𝑈))
45	44	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · -𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
46	41, 43, 45	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑋) = (-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))))
47	46	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
48	15, 1	mulcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
49	48	negcld 11480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 · 𝑈) ∈ ℂ)
50	15, 37	mulcld 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) ∈ ℂ)
51	49, 50, 32	addassd 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + (𝑃 · (𝑀 / 𝑈))) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
52	47, 51	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) = (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
53	52	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
54	31, 30	addcomd 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)))
55	30	negidd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + -(𝑃 · 𝑋)) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) = 0)
57	56	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
58	13, 32	addcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
59	58	addlidd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
60	57, 59	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑋) + (𝑃 · 𝑋)) + (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
61	33, 53, 60	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (𝑄 + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
62	13, 4	mulcld 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑈↑3)) ∈ ℂ)
63	62, 23, 4, 10	divsubdird 11957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) / (𝑈↑3)) − ((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
64	28, 61, 63	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3)))
65	12, 64	oveq12d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
66	1, 37	negsubd 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 − (𝑀 / 𝑈)))
67	35, 66	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑈 + -(𝑀 / 𝑈)))
68	67	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3))
69	37	negcld 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ)
70		binom3 14149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ) → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
71	1, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 + -(𝑀 / 𝑈))↑3) = (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))))
72	1	sqcld 14069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑2) ∈ ℂ)
73	72, 37	mulneg2d 11592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)))
74	72, 21, 1, 7	div12d 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)))
75	1	sqvald 14068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑈↑2) = (𝑈 · 𝑈))
76	75	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈))
77	1, 1, 7	divcan4d 11924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑈) / 𝑈) = 𝑈)
78	76, 77	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) / 𝑈) = 𝑈)
79	78	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝑈↑2) / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
80	74, 79	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · 𝑈))
81	80	negeqd 11375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝑈↑2) · (𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
82	73, 81	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)) = -(𝑀 · 𝑈))
83	82	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = (3 · -(𝑀 · 𝑈)))
84	21, 1	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑈) ∈ ℂ)
85	17, 84	mulneg2d 11592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · -(𝑀 · 𝑈)) = -(3 · (𝑀 · 𝑈)))
86	17, 21, 1	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (3 · (𝑀 · 𝑈)))
87	14	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑀) = (3 · (𝑃 / 3)))
88	15, 17, 19	divcan2d 11920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑃 / 3)) = 𝑃)
89	87, 88	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑀) = 𝑃)
90	89	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · 𝑈) = (𝑃 · 𝑈))
91	86, 90	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑀 · 𝑈)) = (𝑃 · 𝑈))
92	91	negeqd 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(3 · (𝑀 · 𝑈)) = -(𝑃 · 𝑈))
93	83, 85, 92	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈))) = -(𝑃 · 𝑈))
94	93	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) = ((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)))
95		sqneg 14040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
96	37, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈)↑2))
97	37	sqvald 14068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
98	96, 97	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑2) = ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈)))
99	98	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
100	1, 37, 37	mulassd 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑈 · ((𝑀 / 𝑈) · (𝑀 / 𝑈))))
101	21, 1, 7	divcan2d 11920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) = 𝑀)
102	101	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · (𝑀 / 𝑈)) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
103	99, 100, 102	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2)) = (𝑀 · (𝑀 / 𝑈)))
104	103	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
105	17, 21, 37	mulassd 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (3 · (𝑀 · (𝑀 / 𝑈))))
106	89	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝑀) · (𝑀 / 𝑈)) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
107	104, 105, 106	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) = (𝑃 · (𝑀 / 𝑈)))
108		3nn 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
110		n2dvds3 16300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 3)
112		oexpneg 16274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 / 𝑈) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
113	37, 109, 111, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀 / 𝑈)↑3))
114	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
115	21, 1, 7, 114	expdivd 14085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑈)↑3) = ((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
116	115	negeqd 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
117	113, 116	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 𝑈)↑3) = -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))
118	107, 117	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3)) = ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))
119	94, 118	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + (3 · ((𝑈↑2) · -(𝑀 / 𝑈)))) + ((3 · (𝑈 · (-(𝑀 / 𝑈)↑2))) + (-(𝑀 / 𝑈)↑3))) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
120	68, 71, 119	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))))
121	50, 32	addcld 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))) ∈ ℂ)
122	4, 49, 121	addassd 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + -(𝑃 · 𝑈)) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
123	120, 122	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) = ((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))))
124	123	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)))
125	49, 121	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) ∈ ℂ)
126	30, 13	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄) ∈ ℂ)
127	4, 125, 126	addassd 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3) + (-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3))))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
128	124, 127	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((𝑈↑3) + ((-(𝑃 · 𝑈) + ((𝑃 · (𝑀 / 𝑈)) + -((𝑀↑3) / (𝑈↑3)))) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄))))
129	4	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈↑3)↑2) ∈ ℂ)
130	62, 23	subcld 11493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
131	129, 130, 4, 10	divdird 11956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = ((((𝑈↑3)↑2) / (𝑈↑3)) + (((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3)) / (𝑈↑3))))
132	65, 128, 131	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)))
133	132	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ ((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0))
134	129, 130	addcld 11153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
135	134, 4, 10	diveq0ad 11928	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) / (𝑈↑3)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
136	133, 135	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑈↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑈↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 class class class wbr 5095 (class class class)co 7353 ℂcc 11026 0cc0 11028 + caddc 11031 · cmul 11033 − cmin 11365 -cneg 11366 / cdiv 11795 ℕcn 12146 2c2 12201 3c3 12202 ℕ₀cn0 12402 ℤcz 12489 ↑cexp 13986 ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7675 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3397 df-v 3440 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4862 df-iun 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7310 df-ov 7356 df-oprab 7357 df-mpo 7358 df-om 7807 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-er 8632 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11367 df-neg 11368 df-div 11796 df-nn 12147 df-2 12209 df-3 12210 df-4 12211 df-n0 12403 df-z 12490 df-uz 12754 df-rp 12912 df-seq 13927 df-exp 13987 df-dvds 16182

This theorem is referenced by: dcubic2 26770 dcubic1 26771

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