MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem1 25207
Description: Lemma for lgamgulm 25213. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem1 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem1
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.u . 2 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2 simp2 1128 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 lgamgulm.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
433ad2ant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
54nnred 11391 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
64nngt0d 11424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < 𝑅)
75, 6recgt0d 11312 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < (1 / 𝑅))
8 0red 10380 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 ∈ ℝ)
94nnrecred 11426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
108, 9ltnled 10523 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (0 < (1 / 𝑅) ↔ ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0))
117, 10mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0)
12 oveq2 6930 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = -𝑥 → (𝑥 + 𝑘) = (𝑥 + -𝑥))
1312fveq2d 6450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = -𝑥 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑥 + -𝑥)))
1413breq2d 4898 . . . . . . . . 9 (𝑘 = -𝑥 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
1514rspccv 3508 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
1615adantl 475 . . . . . . 7 (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
17163ad2ant3 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
182negidd 10724 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1918fveq2d 6450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = (abs‘0))
20 abs0 14432 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
2119, 20syl6eq 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = 0)
2221breq2d 4898 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ 0))
2317, 22sylibd 231 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ 0))
2411, 23mtod 190 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ -𝑥 ∈ ℕ0)
25 eldmgm 25200 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝑥 ∈ ℕ0))
262, 24, 25sylanbrc 578 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2726rabssdv 3903 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
281, 27syl5eqss 3868 1 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  {crab 3094  cdif 3789  wss 3792   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   < clt 10411  cle 10412  -cneg 10607   / cdiv 11032  cn 11374  0cn0 11642  cz 11728  abscabs 14381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  25208  lgamgulmlem3  25209  lgamgulmlem5  25211  lgamgulmlem6  25212  lgamgulm2  25214  lgambdd  25215
  Copyright terms: Public domain W3C validator