Theorem lgamgulmlem1 27014

Description: Lemma for lgamgulm 27020. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		simp2 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		lgamgulm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
6	4	nngt0d 12221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < 𝑅)
7	5, 6	recgt0d 12085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < (1 / 𝑅))
8		0red 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 ∈ ℝ)
9	4	nnrecred 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (0 < (1 / 𝑅) ↔ ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0))
11	7, 10	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0)
12		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (𝑥 + 𝑘) = (𝑥 + -𝑥))
13	12	fveq2d 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑥 + -𝑥)))
14	13	breq2d 5087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
15	14	rspccv 3559	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
16	15	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
17	16	3ad2ant3 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
18	2	negidd 11490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
19	18	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = (abs‘0))
20		abs0 15242	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = 0)
22	21	breq2d 5087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ 0))
23	17, 22	sylibd 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ 0))
24	11, 23	mtod 200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ -𝑥 ∈ ℕ0)
25		eldmgm 27007	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝑥 ∈ ℕ0))
26	2, 24, 25	sylanbrc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
27	26	rabssdv 4008	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
28	1, 27	eqsstrid 3955	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  {crab 3393   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  -cneg 11373   / cdiv 11802  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  lgamgulm2  27021  lgambdd  27022