Theorem lgamgulmlem1 27006

Description: Lemma for lgamgulm 27012. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		lgamgulm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
6	4	nngt0d 12294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < 𝑅)
7	5, 6	recgt0d 12181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < (1 / 𝑅))
8		0red 11249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 ∈ ℝ)
9	4	nnrecred 12296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11393	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (0 < (1 / 𝑅) ↔ ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0))
11	7, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0)
12		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (𝑥 + 𝑘) = (𝑥 + -𝑥))
13	12	fveq2d 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑥 + -𝑥)))
14	13	breq2d 5161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
15	14	rspccv 3603	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
16	15	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
17	16	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
18	2	negidd 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
19	18	fveq2d 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = (abs‘0))
20		abs0 15268	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = 0)
22	21	breq2d 5161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ 0))
23	17, 22	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ 0))
24	11, 23	mtod 197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ -𝑥 ∈ ℕ0)
25		eldmgm 26999	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝑥 ∈ ℕ0))
26	2, 24, 25	sylanbrc 581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
27	26	rabssdv 4068	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
28	1, 27	eqsstrid 4025	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280   ≤ cle 11281  -cneg 11477   / cdiv 11903  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  abscabs 15217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamgulmlem5  27010  lgamgulmlem6  27011  lgamgulm2  27013  lgambdd  27014