Theorem lgamgulmlem1 27265

Description: Lemma for lgamgulm 27271. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		lgamgulm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
6	4	nngt0d 12309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < 𝑅)
7	5, 6	recgt0d 12173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < (1 / 𝑅))
8		0red 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 ∈ ℝ)
9	4	nnrecred 12311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (0 < (1 / 𝑅) ↔ ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0))
11	7, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0)
12		oveq2 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (𝑥 + 𝑘) = (𝑥 + -𝑥))
13	12	fveq2d 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑥 + -𝑥)))
14	13	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
15	14	rspccv 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
16	15	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
17	16	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
18	2	negidd 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
19	18	fveq2d 6882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = (abs‘0))
20		abs0 15372	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = 0)
22	21	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ 0))
23	17, 22	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ 0))
24	11, 23	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ -𝑥 ∈ ℕ0)
25		eldmgm 27258	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝑥 ∈ ℕ0))
26	2, 24, 25	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
27	26	rabssdv 4022	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
28	1, 27	eqsstrid 3969	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  lgamgulmlem5  27269  lgamgulmlem6  27270  lgamgulm2  27272  lgambdd  27273