Theorem lgamgulmlem1 26178

Description: Lemma for lgamgulm 26184. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.u	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
2		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		lgamgulm.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
6	4	nngt0d 12022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < 𝑅)
7	5, 6	recgt0d 11909	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 < (1 / 𝑅))
8		0red 10978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 0 ∈ ℝ)
9	4	nnrecred 12024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (1 / 𝑅) ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (0 < (1 / 𝑅) ↔ ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0))
11	7, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ (1 / 𝑅) ≤ 0)
12		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (𝑥 + 𝑘) = (𝑥 + -𝑥))
13	12	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝑥 + -𝑥)))
14	13	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = -𝑥 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
15	14	rspccv 3558	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
17	16	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥))))
18	2	negidd 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
19	18	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = (abs‘0))
20		abs0 14997	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
21	19, 20	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (abs‘(𝑥 + -𝑥)) = 0)
22	21	breq2d 5086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + -𝑥)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ 0))
23	17, 22	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → (1 / 𝑅) ≤ 0))
24	11, 23	mtod 197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → ¬ -𝑥 ∈ ℕ0)
25		eldmgm 26171	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝑥 ∈ ℕ0))
26	2, 24, 25	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
27	26	rabssdv 4008	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
28	1, 27	eqsstrid 3969	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem5  26182  lgamgulmlem6  26183  lgamgulm2  26185  lgambdd  26186