pwp1fsum - Metamath Proof Explorer

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Theorem pwp1fsum 16450

Description: The n-th power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
pwp1fsum	⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwp1fsum Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwp1fsum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		fzfid 14011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
4		neg1cn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → -1 ∈ ℂ)
6		elfznn0 13650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
7	6	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
8	5, 7	expcld 14184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
9	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9, 7	expcld 14184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	adddird 11235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))))
14	3, 1, 11	fsummulc2 15837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
15	9, 11	mulcomd 11231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
16	8, 10, 9	mulassd 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((-1↑𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
17		expp1 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
18	1, 6, 17	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
19	18	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
20	19	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
21	15, 16, 20	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22	21	sumeq2dv 15755	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
23	14, 22	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
24	12	mullidd 11228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
25	23, 24	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
26		1zzd 12626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
27		0zd 12604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
28		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		nnz 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30		peano2zm 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
33		peano2nn0 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
34	6, 33	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
35	34	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
36	9, 35	expcld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	8, 36	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
38		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑙 − 1)))
39		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑙 − 1) + 1))
40	39	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1)))
41	38, 40	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))))
42	26, 27, 32, 37, 41	fsumshft 15833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))))
43		elfzelz 13553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
45	44	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
46		npcan1 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ ℂ → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
48	47	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑙))
49	48	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))) = ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
50	49	sumeq2dv 15755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
51	28	nncnd 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
52		npcan1 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
54		0p1e1 12362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
55	54	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
56		nnuz 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
57	55, 56	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = ℕ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘(0 + 1)) = ℕ)
59	28, 53, 58	3eltr4d 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
60	54	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...((𝑁 − 1) + 1))
61	60	eleq2i 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)))
62	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
63		nnm1nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (𝑙 − 1) ∈ ℕ₀)
64	63	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑙 − 1) ∈ ℕ₀)
65	62, 64	expcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
66	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℕ₀)
68	67	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ₀)
69	66, 68	expcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑙) ∈ ℂ)
70	65, 69	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ)
71	70	expcom 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
72		elfznn 13583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℕ)
73	71, 72	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
74	61, 73	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
75	74	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ)
76		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (𝑙 − 1) = (((𝑁 − 1) + 1) − 1))
77	76	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (-1↑(𝑙 − 1)) = (-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)))
78		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (𝐴↑𝑙) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))
79	77, 78	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))))
80	59, 75, 79	fsumm1 15804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = (Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) + ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))))
81	32	zcnd 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
82		pncan1 11639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
83	81, 82	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
84	83	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1)))
85	84	sumeq1d 15753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
86		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 − 1) = (𝑘 − 1))
87	86	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (-1↑(𝑙 − 1)) = (-1↑(𝑘 − 1)))
88		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐴↑𝑙) = (𝐴↑𝑘))
89	87, 88	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)))
90	89	cbvsumv 15749	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))
91	85, 90	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)))
92	83	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) = (-1↑(𝑁 − 1)))
93	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
94	92, 93	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
95	91, 94	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) + ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
96	80, 95	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
97	42, 50, 96	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
98		nnm1nn0 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
99		elnn0uz 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
100	98, 99	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
101	28, 100	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
102		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
103		exp0 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
104	4, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
105	102, 104	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = 1)
106		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑0))
107	105, 106	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (1 · (𝐴↑0)))
108	101, 11, 107	fsum1p 15806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = ((1 · (𝐴↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
109	1	exp0d 14178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
110	109	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑0)) = (1 · 1))
111		1t1e1 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 1) = 1
112	110, 111	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑0)) = 1)
113	112	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
114		fzfid 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
115		elfznn 13583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
116	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
117		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
118	117	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
119	116, 118	expcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
120	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	120, 118	expcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
123	122	expcom 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
124	115, 123	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
125	54	oveq1i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
126	124, 125	eleq2s 2881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
127	126	impcom 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
128	114, 127	fsumcl 15786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
129	2, 128	addcomd 11413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1))
130	108, 113, 129	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1))
131	97, 130	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1)))
132		nnm1nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
133	132	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
134	116, 133	expcld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
135	134, 121	mulcld 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
136	135	expcom 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
137	115, 136	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
138	137, 125	eleq2s 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
139	138	impcom 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	114, 139	fsumcl 15786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
141	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
142	28, 98	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
143	141, 142	expcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
144	28	nnnn0d 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
145	1, 144	expcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
146	143, 145	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
147	140, 146	addcld 11229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ)
148	147, 128, 2	addassd 11232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + 1) = ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1)))
149	140, 146	addcomd 11413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))))
150	149	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
151	146, 140, 128	addassd 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))))
152		nncn 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
153		npcan1 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	152, 153	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
155	154	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
156	155	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑘 − 1) + 1)))
157	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
158	157, 132	expp1d 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
159	157, 132	expcld 14184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
160	159, 157	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
161	156, 158, 160	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑𝑘) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
162	161	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1 · (-1↑(𝑘 − 1)))))
163	159	mulm1d 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) = -(-1↑(𝑘 − 1)))
164	163	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1 · (-1↑(𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑘 − 1)) + -(-1↑(𝑘 − 1))))
165	159	negidd 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + -(-1↑(𝑘 − 1))) = 0)
166	162, 164, 165	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = 0)
167	166	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = 0)
168	167	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = (0 · (𝐴↑𝑘)))
169	134, 119, 121	adddird 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
170	121	mul02d 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
171	168, 169, 170	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
172	171	expcom 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
173	115, 172	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
174	173, 125	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
175	174	impcom 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
176	175	sumeq2dv 15755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0)
177	114, 139, 127	fsumadd 15793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
178	114	olcd 887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin))
179		sumz 15775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0 = 0)
180	178, 179	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0 = 0)
181	176, 177, 180	3eqtr3d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
182	181	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 0))
183	146	addridd 11411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 0) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
184	182, 183	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
185	150, 151, 184	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
186	185	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + 1) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
187	131, 148, 186	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
188	13, 25, 187	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
189	188	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ⊆ wss 3906 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 Fincfn 8944 ℂcc 11099 0cc0 11101 1c1 11102 + caddc 11104 · cmul 11106 − cmin 11442 -cneg 11443 ℕcn 12234 ℕ₀cn0 12505 ℤcz 12592 ℤ_≥cuz 12863 ...cfz 13536 ↑cexp 14099 Σcsu 15739

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-inf2 9611 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178 ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-er 8695 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-sup 9403 df-oi 9473 df-card 9926 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-n0 12506 df-z 12593 df-uz 12864 df-rp 13018 df-fz 13537 df-fzo 13685 df-seq 14040 df-exp 14100 df-hash 14369 df-cj 15152 df-re 15153 df-im 15154 df-sqrt 15288 df-abs 15289 df-clim 15541 df-sum 15740

This theorem is referenced by: oddpwp1fsum 16451

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