pwp1fsum - Metamath Proof Explorer

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Theorem pwp1fsum 15732

Description: The n-th power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pwp1fsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
pwp1fsum	⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwp1fsum Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwp1fsum.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3		fzfid 13336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
4		neg1cn 11739	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → -1 ∈ ℂ)
6		elfznn0 12995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
8	5, 7	expcld 13506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
9	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9, 7	expcld 13506	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcld 10650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	adddird 10655	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))))
14	3, 1, 11	fsummulc2 15131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
15	9, 11	mulcomd 10651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
16	8, 10, 9	mulassd 10653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((-1↑𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
17		expp1 13432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
18	1, 6, 17	syl2an 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
19	18	eqcomd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
20	19	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
21	15, 16, 20	3eqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22	21	sumeq2dv 15052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 · ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
23	14, 22	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
24	12	mulid2d 10648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
25	23, 24	oveq12d 7153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + (1 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
26		1zzd 12001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
27		0zd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
28		pwp1fsum.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
29		nnz 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
30		peano2zm 12013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
33		peano2nn0 11925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
34	6, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
35	34	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ₀)
36	9, 35	expcld 13506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	8, 36	mulcld 10650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
38		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑙 − 1)))
39		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (𝑘 + 1) = ((𝑙 − 1) + 1))
40	39	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1)))
41	38, 40	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑙 − 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))))
42	26, 27, 32, 37, 41	fsumshft 15127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))))
43		elfzelz 12902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℤ)
44	43	zcnd 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
45	44	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
46		npcan1 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ ℂ → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((𝑙 − 1) + 1) = 𝑙)
48	47	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑙))
49	48	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))) = ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
50	49	sumeq2dv 15052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑((𝑙 − 1) + 1))) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
51	28	nncnd 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
52		npcan1 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
54		0p1e1 11747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
55	54	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
56		nnuz 12269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
57	55, 56	eqtr4i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = ℕ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℤ_≥‘(0 + 1)) = ℕ)
59	28, 53, 58	3eltr4d 2905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
60	54	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...((𝑁 − 1) + 1))
61	60	eleq2i 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)))
62	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
63		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (𝑙 − 1) ∈ ℕ₀)
64	63	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑙 − 1) ∈ ℕ₀)
65	62, 64	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑙 − 1)) ∈ ℂ)
66	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → 𝑙 ∈ ℕ₀)
68	67	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ₀)
69	66, 68	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑙) ∈ ℂ)
70	65, 69	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ)
71	70	expcom 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
72		elfznn 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)) → 𝑙 ∈ ℕ)
73	71, 72	syl11 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (1...((𝑁 − 1) + 1)) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
74	61, 73	syl5bi 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ))
75	74	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) ∈ ℂ)
76		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (𝑙 − 1) = (((𝑁 − 1) + 1) − 1))
77	76	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (-1↑(𝑙 − 1)) = (-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)))
78		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → (𝐴↑𝑙) = (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))
79	77, 78	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = ((𝑁 − 1) + 1) → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))))
80	59, 75, 79	fsumm1 15098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = (Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) + ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))))
81	32	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
82		pncan1 11053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℂ → (((𝑁 − 1) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
84	83	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 − 1)))
85	84	sumeq1d 15050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)))
86		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 − 1) = (𝑘 − 1))
87	86	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (-1↑(𝑙 − 1)) = (-1↑(𝑘 − 1)))
88		oveq2 7143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐴↑𝑙) = (𝐴↑𝑘))
89	87, 88	oveq12d 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)))
90	89	cbvsumv 15045	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))
91	85, 90	eqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)))
92	83	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) = (-1↑(𝑁 − 1)))
93	53	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴↑𝑁))
94	92, 93	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
95	91, 94	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...(((𝑁 − 1) + 1) − 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) + ((-1↑(((𝑁 − 1) + 1) − 1)) · (𝐴↑((𝑁 − 1) + 1)))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
96	80, 95	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑙 ∈ ((0 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))((-1↑(𝑙 − 1)) · (𝐴↑𝑙)) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
97	42, 50, 96	3eqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))))
98		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
99		elnn0uz 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
100	98, 99	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
101	28, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
102		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
103		exp0 13429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
104	4, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1↑0) = 1
105	102, 104	eqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = 1)
106		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑0))
107	105, 106	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (1 · (𝐴↑0)))
108	101, 11, 107	fsum1p 15100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = ((1 · (𝐴↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
109	1	exp0d 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
110	109	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑0)) = (1 · 1))
111		1t1e1 11787	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 1) = 1
112	110, 111	eqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑0)) = 1)
113	112	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 · (𝐴↑0)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (1 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
114		fzfid 13336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
115		elfznn 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
116	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
117		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
118	117	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
119	116, 118	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
120	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	120, 118	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
122	119, 121	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
123	122	expcom 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
124	115, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
125	54	oveq1i 7145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
126	124, 125	eleq2s 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
127	126	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
128	114, 127	fsumcl 15082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
129	2, 128	addcomd 10831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1))
130	108, 113, 129	3eqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1))
131	97, 130	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1)))
132		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
133	132	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
134	116, 133	expcld 13506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
135	134, 121	mulcld 10650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
136	135	expcom 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
137	115, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
138	137, 125	eleq2s 2908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ))
139	138	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
140	114, 139	fsumcl 15082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
141	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
142	28, 98	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
143	141, 142	expcld 13506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
144	28	nnnn0d 11943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
145	1, 144	expcld 13506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
146	143, 145	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
147	140, 146	addcld 10649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ)
148	147, 128, 2	addassd 10652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + 1) = ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)) + 1)))
149	140, 146	addcomd 10831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))))
150	149	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
151	146, 140, 128	addassd 10652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))))
152		nncn 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
153		npcan1 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
155	154	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
156	155	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑘 − 1) + 1)))
157	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
158	157, 132	expp1d 13507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
159	157, 132	expcld 13506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
160	159, 157	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
161	156, 158, 160	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1↑𝑘) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
162	161	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1 · (-1↑(𝑘 − 1)))))
163	159	mulm1d 11081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) = -(-1↑(𝑘 − 1)))
164	163	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1 · (-1↑(𝑘 − 1)))) = ((-1↑(𝑘 − 1)) + -(-1↑(𝑘 − 1))))
165	159	negidd 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + -(-1↑(𝑘 − 1))) = 0)
166	162, 164, 165	3eqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = 0)
167	166	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) = 0)
168	167	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = (0 · (𝐴↑𝑘)))
169	134, 119, 121	adddird 10655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) + (-1↑𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
170	121	mul02d 10827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
171	168, 169, 170	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
172	171	expcom 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
173	115, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
174	173, 125	eleq2s 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝜑 → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0))
175	174	impcom 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
176	175	sumeq2dv 15052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0)
177	114, 139, 127	fsumadd 15088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))(((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
178	114	olcd 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin))
179		sumz 15071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ ((0 + 1)...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0 = 0)
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))0 = 0)
181	176, 177, 180	3eqtr3d 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = 0)
182	181	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 0))
183	146	addid1d 10829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 0) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
184	182, 183	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + (Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘)))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
185	150, 151, 184	3eqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)))
186	185	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑(𝑘 − 1)) · (𝐴↑𝑘)) + ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) + 1) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
187	131, 148, 186	3eqtr2d 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
188	13, 25, 187	3eqtrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1))
189	188	eqcomd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴↑𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴↑𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 844 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ⊆ wss 3881 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 Fincfn 8492 ℂcc 10524 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 − cmin 10859 -cneg 10860 ℕcn 11625 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ℤ_≥cuz 12231 ...cfz 12885 ↑cexp 13425 Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-inf2 9088 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-se 5479 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-isom 6333 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-sup 8890 df-oi 8958 df-card 9352 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-rp 12378 df-fz 12886 df-fzo 13029 df-seq 13365 df-exp 13426 df-hash 13687 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-clim 14837 df-sum 15035

This theorem is referenced by: oddpwp1fsum 15733

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