MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwp1fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwp1fsum 16278
Description: The n-th power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwp1fsum.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwp1fsum.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
pwp1fsum (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem pwp1fsum
Dummy variable ๐‘™ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwp1fsum.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 1cnd 11155 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 fzfid 13884 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
4 neg1cn 12272 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
54a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
6 elfznn0 13540 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
76adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
85, 7expcld 14057 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
91adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
109, 7expcld 14057 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
118, 10mulcld 11180 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
123, 11fsumcl 15623 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
131, 2, 12adddird 11185 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))))
143, 1, 11fsummulc2 15674 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
159, 11mulcomd 11181 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด))
168, 10, 9mulassd 11183 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
17 expp1 13980 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
181, 6, 17syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
1918eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
2019oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2115, 16, 203eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2221sumeq2dv 15593 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2314, 22eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2412mulid2d 11178 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2523, 24oveq12d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + (1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
26 1zzd 12539 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
27 0zd 12516 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
28 pwp1fsum.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
29 nnz 12525 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
30 peano2zm 12551 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
3228, 31syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
33 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
346, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3534adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
369, 35expcld 14057 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
378, 36mulcld 11180 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
38 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘™ โˆ’ 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)))
39 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘™ โˆ’ 1) โ†’ (๐‘˜ + 1) = ((๐‘™ โˆ’ 1) + 1))
4039oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘™ โˆ’ 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1)))
4138, 40oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘™ โˆ’ 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1))))
4226, 27, 32, 37, 41fsumshft 15670 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1))))
43 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„ค)
4443zcnd 12613 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
4544adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
46 npcan1 11585 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘™ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘™)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ((๐‘™ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘™)
4847oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘™))
4948oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1))) = ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)))
5049sumeq2dv 15593 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘™ โˆ’ 1) + 1))) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)))
5128nncnd 12174 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
52 npcan1 11585 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
54 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
5554fveq2i 6846 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
56 nnuz 12811 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5755, 56eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)) = โ„•
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)) = โ„•)
5928, 53, 583eltr4d 2849 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(0 + 1)))
6054oveq1i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (1...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))
6160eleq2i 2826 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†” ๐‘™ โˆˆ (1...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
624a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
63 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘™ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘™ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6562, 64expcld 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
661adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
67 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
6966, 68expcld 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘™) โˆˆ โ„‚)
7065, 69mulcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) โˆˆ โ„‚)
7170expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) โˆˆ โ„‚))
72 elfznn 13476 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ (1...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•)
7371, 72syl11 33 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘™ โˆˆ (1...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) โˆˆ โ„‚))
7461, 73biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) โˆˆ โ„‚))
7574imp 408 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) โˆˆ โ„‚)
76 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐‘™ โˆ’ 1) = (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1))
7776oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘™ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)))
78 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘™ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘™) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))
7977, 78oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘™ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = ((-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1))))
8059, 75, 79fsumm1 15641 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = (ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) + ((-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))))
8132zcnd 12613 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
82 pncan1 11584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
8483oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1)...(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
8584sumeq1d 15591 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)))
86 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘™ โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
8786oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ (-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
88 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘™) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
8987, 88oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = ๐‘˜ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
9089cbvsumv 15586 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))
9185, 90eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
9283oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
9353oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ดโ†‘๐‘))
9492, 93oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1))) = ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
9591, 94oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) + ((-1โ†‘(((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) + 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
9680, 95eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ ((0 + 1)...((๐‘ โˆ’ 1) + 1))((-1โ†‘(๐‘™ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘™)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
9742, 50, 963eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
98 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
99 elnn0uz 12813 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
10098, 99sylib 217 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
10128, 100syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
102 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘0))
103 exp0 13977 . . . . . . . . . 10 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
1044, 103ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1โ†‘0) = 1
105102, 104eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = 1)
106 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ดโ†‘0))
107105, 106oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (1 ยท (๐ดโ†‘0)))
108101, 11, 107fsum1p 15643 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((1 ยท (๐ดโ†‘0)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
1091exp0d 14051 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
110109oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘0)) = (1 ยท 1))
111 1t1e1 12320 . . . . . . . 8 (1 ยท 1) = 1
112110, 111eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘0)) = 1)
113112oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท (๐ดโ†‘0)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (1 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
114 fzfid 13884 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
115 elfznn 13476 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
1164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
117 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
119116, 118expcld 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1201adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
121120, 118expcld 14057 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
122119, 121mulcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
123122expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
124115, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
12554oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (1...(๐‘ โˆ’ 1))
126124, 125eleq2s 2852 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
127126impcom 409 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
128114, 127fsumcl 15623 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1292, 128addcomd 11362 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + 1))
130108, 113, 1293eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + 1))
13197, 130oveq12d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + 1)))
132 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
133132adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
134116, 133expcld 14057 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
135134, 121mulcld 11180 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
136135expcom 415 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
137115, 136syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
138137, 125eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚))
139138impcom 409 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
140114, 139fsumcl 15623 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1414a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
14228, 98syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
143141, 142expcld 14057 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
14428nnnn0d 12478 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1451, 144expcld 14057 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
146143, 145mulcld 11180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
147140, 146addcld 11179 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
148147, 128, 2addassd 11182 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + 1) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + 1)))
149140, 146addcomd 11362 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
150149oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
151146, 140, 128addassd 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))))
152 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
153 npcan1 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘˜)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘˜)
155154eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ = ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1))
156155oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1)))
1574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
158157, 132expp1d 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1))
159157, 132expcld 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
160159, 157mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
161156, 158, 1603eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
162161oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1โ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
163159mulm1d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) = -(-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
164163oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + -(-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
165159negidd 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + -(-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) = 0)
166162, 164, 1653eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1โ†‘๐‘˜)) = 0)
167166adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1โ†‘๐‘˜)) = 0)
168167oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (0 ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
169134, 119, 121adddird 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) + (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
170121mul02d 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = 0)
171168, 169, 1703eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0)
172171expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0))
173115, 172syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0))
174173, 125eleq2s 2852 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0))
175174impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0)
176175sumeq2dv 15593 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))0)
177114, 139, 127fsumadd 15630 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
178114olcd 873 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin))
179 sumz 15612 . . . . . . . . . 10 ((((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))0 = 0)
180178, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))0 = 0)
181176, 177, 1803eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = 0)
182181oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 0))
183146addid1d 11360 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 0) = ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
184182, 183eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))) = ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
185150, 151, 1843eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
186185oveq1d 7373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) + ((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) + 1) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1))
187131, 148, 1863eqtr2d 2779 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1))
18813, 25, 1873eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1))
189188eqcomd 2739 1 (๐œ‘ โ†’ (((-1โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + 1) = ((๐ด + 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  ฮฃcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  oddpwp1fsum  16279
  Copyright terms: Public domain W3C validator