Theorem zringinvg 20685

Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringinvg	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Proof of Theorem zringinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negidd 11320	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3		zringgrp 20673	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Grp
4		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
5		znegcl 12353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
6		zringbas 20674	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		zringplusg 20675	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℤring)
8		zring0 20678	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 18628	. . . 4 ⊢ ((ℤring ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
11	3, 4, 5, 10	mp3an2i 1465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
12	2, 11	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((invg‘ℤring)‘𝐴) = -𝐴)
13	12	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 = ((invg‘ℤring)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  0cc0 10869   + caddc 10872  -cneg 11204  ℤcz 12317  Grpcgrp 18575  inv_gcminusg 18576  ℤ_ringczring 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-addf 10948  ax-mulf 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-fz 13238  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-subg 18750  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-subrg 20020  df-cnfld 20596  df-zring 20669

This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  20795  zlmodzxzsubm  45662