MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgsubcl 19002
Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgsubcl ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21subgss 18992 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
4 simp2 1138 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
53, 4sseldd 3981 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
73, 6sseldd 3981 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
8 eqid 2733 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2733 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 subgsubcl.p . . . 4 = (-g𝐺)
111, 8, 9, 10grpsubval 18857 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
125, 7, 11syl2anc 585 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
139subginvcl 19000 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
14133adant2 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
158subgcl 19001 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
1614, 15syld3an3 1410 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
1712, 16eqeltrd 2834 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3946  cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  +gcplusg 17184  invgcminusg 18807  -gcsg 18808  SubGrpcsubg 18985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988
This theorem is referenced by:  issubg4  19010  ssnmz  19031  subgdisj1  19543  dprdfeq0  19875  pgpfac1lem3  19930  lidlsubcl  20815  chfacfisfcpmat  22326  subgntr  23580  opnsubg  23581  clssubg  23582  clmsubcl  24571  nelsubgcld  40979  2idlcpblrng  46634
  Copyright terms: Public domain W3C validator