Theorem subgsubcl 18048

Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgsubcl.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgsubcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 18038	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	3ad2ant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
4		simp2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3896	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6		simp3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
7	3, 6	sseldd 3896	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
8		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		subgsubcl.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
11	1, 8, 9, 10	grpsubval 17910	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
12	5, 7, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
13	9	subginvcl 18046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
14	13	3adant2 1124	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
15	8	subgcl 18047	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
16	14, 15	syld3an3 1402	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
17	12, 16	eqeltrd 2885	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ⊆ wss 3865  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398  inv_gcminusg 17866  -_gcsg 17867  SubGrpcsubg 18031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-subg 18034

This theorem is referenced by:  issubg4  18056  ssnmz  18079  subgdisj1  18548  dprdfeq0  18865  pgpfac1lem3  18920  lidlsubcl  19682  chfacfisfcpmat  21151  subgntr  22402  opnsubg  22403  clssubg  22404  clmsubcl  23377  nelsubgcld  38680