Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgsubcl 18372
 Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgsubcl ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21subgss 18362 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
323ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
4 simp2 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
53, 4sseldd 3896 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
6 simp3 1136 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
73, 6sseldd 3896 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
8 eqid 2759 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2759 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 subgsubcl.p . . . 4 = (-g𝐺)
111, 8, 9, 10grpsubval 18231 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
125, 7, 11syl2anc 587 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
139subginvcl 18370 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
14133adant2 1129 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
158subgcl 18371 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
1614, 15syld3an3 1407 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝑆)
1712, 16eqeltrd 2853 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3861  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Basecbs 16556  +gcplusg 16638  invgcminusg 18185  -gcsg 18186  SubGrpcsubg 18355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-subg 18358 This theorem is referenced by:  issubg4  18380  ssnmz  18400  subgdisj1  18899  dprdfeq0  19227  pgpfac1lem3  19282  lidlsubcl  20072  chfacfisfcpmat  21570  subgntr  22822  opnsubg  22823  clssubg  22824  clmsubcl  23802  nelsubgcld  39768
 Copyright terms: Public domain W3C validator