Theorem nndivides2 48274

Description: Definition of the divides relation for divisors greater than 1. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides2	⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem nndivides2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2nn 48219	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (2..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nndivides 16356	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
4		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑀) = (𝑚 · 𝑀))
5	4	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	cbvrexvw 3243	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
7		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (2..^𝑁))
8		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
13		nnmulcom 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
16	14, 15	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = 𝑁)
17		nnmul2 48220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑚) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
20	5	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
21	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
22	19, 20, 21	rspcedvd 3581	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	18, 22	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	rexlimdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	6, 25	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27		fzossnn 13769	. . . . 5 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
28		2eluzge1 12934	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
29		fzoss1 13744	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
30	28, 29	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
31		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (1..^𝑁) ⊆ ℕ)
32	30, 31	sstrd 3944	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ ℕ)
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ ℕ
34		ssrexv 4004	. . . 4 ⊢ ((2..^𝑁) ⊆ ℕ → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
35	33, 34	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
36	26, 35	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
37	3, 36	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   · cmul 11132  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤ_≥cuz 12890  ..^cfzo 13711   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-dvds 16347

This theorem is used by:  nprmmul1  48429