Theorem nndivides2 48088

Description: Definition of the divides relation for divisors greater than 1. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides2	⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem nndivides2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2nn 48033	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (2..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nndivides 16319	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
3	1, 2	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
4		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑀) = (𝑚 · 𝑀))
5	4	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	cbvrexvw 3242	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
7		simplll 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (2..^𝑁))
8		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	anim1i 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
13		nnmulcom 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
15		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
16	14, 15	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = 𝑁)
17		nnmul2 48034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑚) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
19		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
20	5	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
21	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
22	19, 20, 21	rspcedvd 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	18, 22	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24	23	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	rexlimdva 3164	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	6, 25	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27		fzossnn 13740	. . . . 5 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
28		2eluzge1 12905	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
29		fzoss1 13715	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
30	28, 29	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
31		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (1..^𝑁) ⊆ ℕ)
32	30, 31	sstrd 3946	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ ℕ)
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ ℕ
34		ssrexv 4006	. . . 4 ⊢ ((2..^𝑁) ⊆ ℕ → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
35	33, 34	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
36	26, 35	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
37	3, 36	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11100   · cmul 11104  ℕcn 12232  2c2 12294  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13682   ∥ cdvds 16309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-dvds 16310

This theorem is referenced by:  nprmmul1  48243