Theorem nndivides2 47826

Description: Definition of the divides relation for divisors greater than 1. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides2	⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem nndivides2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2nn 47771	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (2..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nndivides 16231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
4		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑀) = (𝑚 · 𝑀))
5	4	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
7		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (2..^𝑁))
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	anim1i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
13		nnmulcom 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
16	14, 15	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = 𝑁)
17		nnmul2 47772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑚) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
20	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
21	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
22	19, 20, 21	rspcedvd 3567	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	18, 22	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	6, 25	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27		fzossnn 13666	. . . . 5 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
28		2eluzge1 12832	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
29		fzoss1 13641	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
30	28, 29	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (1..^𝑁) ⊆ ℕ)
32	30, 31	sstrd 3933	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ ℕ)
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ ℕ
34		ssrexv 3992	. . . 4 ⊢ ((2..^𝑁) ⊆ ℕ → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
35	33, 34	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
36	26, 35	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
37	3, 36	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  nprmmul1  47981