Theorem nndivides2 47829

Description: Definition of the divides relation for divisors greater than 1. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides2	⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem nndivides2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2nn 47774	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (2..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nndivides 16220	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
4		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑀) = (𝑚 · 𝑀))
5	4	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
7		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (2..^𝑁))
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	anim1i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
13		nnmulcom 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
16	14, 15	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = 𝑁)
17		nnmul2 47775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑚) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
20	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
21	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
22	19, 20, 21	rspcedvd 3567	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	18, 22	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	6, 25	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27		fzossnn 13655	. . . . 5 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
28		2eluzge1 12821	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
29		fzoss1 13630	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
30	28, 29	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (1..^𝑁) ⊆ ℕ)
32	30, 31	sstrd 3933	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ ℕ)
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ ℕ
34		ssrexv 3992	. . . 4 ⊢ ((2..^𝑁) ⊆ ℕ → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
35	33, 34	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
36	26, 35	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
37	3, 36	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12163  2c2 12225  ℤ_≥cuz 12777  ..^cfzo 13597   ∥ cdvds 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-dvds 16211

This theorem is referenced by:  nprmmul1  47984