Theorem nndivides2 48659

Description: Definition of the divides relation for divisors greater than 1. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides2	⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem nndivides2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2nn 48604	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (2..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nndivides 16461	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
4		oveq1 7450	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑀) = (𝑚 · 𝑀))
5	4	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	cbvrexvw 3245	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
7		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∈ (2..^𝑁))
8		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
10	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ))
13		nnmulcom 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = (𝑚 · 𝑀))
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
16	14, 15	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → (𝑀 · 𝑚) = 𝑁)
17		nnmul2 48605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑀 · 𝑚) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
18	7, 9, 16, 17	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
20	5	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → ((𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁))
21	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑀) = 𝑁)
22	19, 20, 21	rspcedvd 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (2..^𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
23	18, 22	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁)
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	rexlimdva 3167	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
26	6, 25	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
27		fzossnn 13873	. . . . 5 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ ℕ
28		2eluzge1 13036	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
29		fzoss1 13848	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
30	28, 29	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ (1..^𝑁))
31		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (1..^𝑁) ⊆ ℕ)
32	30, 31	sstrd 3923	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ ℕ → (2..^𝑁) ⊆ ℕ)
33	27, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^𝑁) ⊆ ℕ
34		ssrexv 3983	. . . 4 ⊢ ((2..^𝑁) ⊆ ℕ → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
35	33, 34	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
36	26, 35	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))
37	3, 36	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)(𝑛 · 𝑀) = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228   · cmul 11232  ℕcn 12362  2c2 12424  ℤ_≥cuz 12992  ..^cfzo 13815   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-dvds 16452

This theorem is used by:  nprmmul1  48814