Theorem nprmmul1 47981

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 16652	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
3		uzuzle24 12835	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
5		eluzelz 12798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzoval 13614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2...(𝑁 − 1)) = (2..^𝑁))
9	8	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
10		eluz4nn 12840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	anim1ci 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
12		nndivides2 47826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
14		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑏 · 𝑎))
15		elfzo2nn 47771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		elfzo2nn 47771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		nnmulcom 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
19	15, 17, 18	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
20	19	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑏 · 𝑎) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
21	14, 20	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
22	21	rexbidva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
23	13, 22	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
25	24	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
26	9, 25	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
27	2, 4, 26	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
28		nnel 3047	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ)
29		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
30	29	bicomi 224	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
31	27, 28, 30	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
32	31	con4bid 317	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  4c4 12238  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  nprmmul2  47982