Theorem nprmmul1 48304

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 16747	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
3		uzuzle24 12915	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	biantrurd 541	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
5		eluzelz 12878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzoval 13695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
8	7	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2...(𝑁 − 1)) = (2..^𝑁))
9	8	raleqdv 3322	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
10		eluz4nn 12920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	anim1ci 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
12		nndivides2 48149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
14		eqcom 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑏 · 𝑎))
15		elfzo2nn 48094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		elfzo2nn 48094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		nnmulcom 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
19	15, 17, 18	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
20	19	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑏 · 𝑎) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
21	14, 20	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
22	21	rexbidva 3186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
23	13, 22	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
25	24	ralbidva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
26	9, 25	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
27	2, 4, 26	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
28		nnel 3073	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ)
29		ralnex 3090	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
30	29	bicomi 227	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
31	27, 28, 30	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
32	31	con4bid 320	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107   · cmul 11111   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  4c4 12303  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689   ∥ cdvds 16316  ℙcprime 16735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-prm 16736

This theorem is used by:  nprmmul2  48305