Theorem nprmmul1 48685

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 16859	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
3		uzuzle24 13013	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
5		eluzelz 12976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzoval 13795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
8	7	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2...(𝑁 − 1)) = (2..^𝑁))
9	8	raleqdv 3319	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
10		eluz4nn 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	anim1ci 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
12		nndivides2 48530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
14		eqcom 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑏 · 𝑎))
15		elfzo2nn 48475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		elfzo2nn 48475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		nnmulcom 12397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
19	15, 17, 18	syl2anr 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
20	19	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑏 · 𝑎) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
21	14, 20	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
22	21	rexbidva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
23	13, 22	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
25	24	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
26	9, 25	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
27	2, 4, 26	3bitr2d 310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
28		nnel 3071	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ)
29		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
30	29	bicomi 227	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
31	27, 28, 30	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
32	31	con4bid 320	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11202   · cmul 11206   − cmin 11542  ℕcn 12336  2c2 12398  4c4 12400  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ..^cfzo 13789   ∥ cdvds 16423  ℙcprime 16847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-prm 16848

This theorem is used by:  nprmmul2  48686