Theorem nprmmul1 47984

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 16641	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
3		uzuzle24 12824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
4	3	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁)))
5		eluzelz 12787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzoval 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2..^𝑁) = (2...(𝑁 − 1)))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (2...(𝑁 − 1)) = (2..^𝑁))
9	8	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁))
10		eluz4nn 12829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	anim1ci 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
12		nndivides2 47829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁))
14		eqcom 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑏 · 𝑎))
15		elfzo2nn 47774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℕ)
16		elfzo2nn 47774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
18		nnmulcom 12224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
19	15, 17, 18	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑏))
20	19	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑏 · 𝑎) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
21	14, 20	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
22	21	rexbidva 3160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑏 · 𝑎) = 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
23	13, 22	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
25	24	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
26	9, 25	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∀𝑎 ∈ (2...(𝑁 − 1)) ¬ 𝑎 ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
27	2, 4, 26	3bitr2d 307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∈ ℙ ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
28		nnel 3047	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ)
29		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
30	29	bicomi 224	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ (2..^𝑁) ¬ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
31	27, 28, 30	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (¬ 𝑁 ∉ ℙ ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
32	31	con4bid 317	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028   · cmul 11032   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  4c4 12227  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-prm 16630

This theorem is referenced by:  nprmmul2  47985