Theorem facnn0dvdsfac 48531

Description: The factorial of a nonnegative integer divides the factorial of an integer which is greater than or equal to the first integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
facnn0dvdsfac	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facnn0dvdsfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permnn 14471	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ)
2		nnz 12715	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
4		elfznn0 13755	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		faccl 14428	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12720	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
8		facne0 14431	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ≠ 0)
10		elfz3nn0 13756	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		faccl 14428	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12720	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
14	7, 9, 13	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ))
15		dvdsval2 16426	. . 3 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
17	3, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201   / cdiv 11974  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ...cfz 13640  !cfa 14418   ∥ cdvds 16423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-seq 14146  df-fac 14419  df-bc 14448  df-dvds 16424

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48533