Theorem facnn0dvdsfac 48660

Description: The factorial of a nonnegative integer divides the factorial of an integer which is greater than or equal to the first integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
facnn0dvdsfac	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facnn0dvdsfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permnn 14497	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ)
2		nnz 12741	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
4		elfznn0 13781	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		faccl 14454	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
8		facne0 14457	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ≠ 0)
10		elfz3nn0 13782	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		faccl 14454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12746	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
14	7, 9, 13	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ))
15		dvdsval2 16454	. . 3 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
17	3, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ...cfz 13666  !cfa 14444   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-seq 14172  df-fac 14445  df-bc 14474  df-dvds 16452

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48662