Theorem facnn0dvdsfac 48275

Description: The factorial of a nonnegative integer divides the factorial of an integer which is greater than or equal to the first integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
facnn0dvdsfac	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facnn0dvdsfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permnn 14392	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ)
2		nnz 12639	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
4		elfznn0 13677	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		faccl 14349	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12644	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
8		facne0 14352	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ≠ 0)
10		elfz3nn0 13678	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		faccl 14349	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12644	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
14	7, 9, 13	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ))
15		dvdsval2 16349	. . 3 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
17	3, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ...cfz 13563  !cfa 14339   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-seq 14068  df-fac 14340  df-bc 14369  df-dvds 16347

This theorem is used by:  muldvdsfacm1  48277