Theorem facnn0dvdsfac 47927

Description: The factorial of a nonnegative integer divides the factorial of an integer which is greater than or equal to the first integer. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
facnn0dvdsfac	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facnn0dvdsfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permnn 14329	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ)
2		nnz 12579	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ)
4		elfznn0 13615	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		faccl 14286	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12584	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
8		facne0 14289	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ≠ 0)
10		elfz3nn0 13616	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		faccl 14286	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 12584	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
14	7, 9, 13	3jca 1137	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ))
15		dvdsval2 16265	. . 3 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ≠ 0 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁) / (!‘𝑀)) ∈ ℤ))
17	3, 16	mpbird 259	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑀) ∥ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12558  ...cfz 13502  !cfa 14276   ∥ cdvds 16262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-seq 14005  df-fac 14277  df-bc 14306  df-dvds 16263

This theorem is referenced by:  muldvdsfacm1  47929