Theorem nnmul2 47794

Description: If one factor of a product of integers is at least 2 and less then the product, so is the second factor. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul2	⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Proof of Theorem nnmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12873	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 1))
3	2	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
5		elfzoelz 13611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ax-1rid 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	8	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 ↔ 𝐴 = 𝑁))
10		elfzo2 13614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
11		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
12	11	eqcoms 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝑁 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
14		eluzelre 12797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ltnrd 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
16	15	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
18	13, 17	sylbid 241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
19	18	impancom 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
20	19	3adant2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
21	10, 20	sylbi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
22	9, 21	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
24	4, 23	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
25	24	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
26		eluzle 12799	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐵)
27	26	2a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	jaoi 863	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
29	1, 28	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
30	29	3imp21 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ≤ 𝐵)
31		eluz2gt1 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
32	31	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
33	10, 32	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 1 < 𝐴)
34	33	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 1 < 𝐴)
35	6	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		nnrp 12952	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	35, 37	ltmulgt12d 13020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐵)))
39	34, 38	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < (𝐴 · 𝐵))
40		breq2 5083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
41	40	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
42	39, 41	mpbid 233	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
43		nnz 12543	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
45		2z 12557	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
47		elfzoel2 13610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elfzo 13613	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
51	30, 42, 50	mpbir2and 719	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  2c2 12234  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  nnmul2b  47795  nndivides2  47848