Theorem nnmul2 47807

Description: If one factor of a product of integers is at least 2 and less then the product, so is the second factor. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul2	⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Proof of Theorem nnmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12870	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 1))
3	2	eqeq1d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
4	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
5		elfzoelz 13608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ax-1rid 11103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	8	eqeq1d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 ↔ 𝐴 = 𝑁))
10		elfzo2 13611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
11		breq2 5079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
12	11	eqcoms 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝑁 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
13	12	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
14		eluzelre 12794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ltnrd 11275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
16	15	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
17	16	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
18	13, 17	sylbid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
19	18	impancom 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
20	19	3adant2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
21	10, 20	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
22	9, 21	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
23	22	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
24	4, 23	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
25	24	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
26		eluzle 12796	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐵)
27	26	2a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	jaoi 864	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
29	1, 28	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
30	29	3imp21 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ≤ 𝐵)
31		eluz2gt1 12865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
32	31	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
33	10, 32	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 1 < 𝐴)
34	33	3ad2ant1 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 1 < 𝐴)
35	6	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		nnrp 12949	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant2 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	35, 37	ltmulgt12d 13017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐵)))
39	34, 38	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < (𝐴 · 𝐵))
40		breq2 5079	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
41	40	3ad2ant3 1142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
42	39, 41	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
43		nnz 12540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
45		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
47		elfzoel2 13607	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elfzo 13610	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
51	30, 42, 50	mpbir2and 720	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  2c2 12231  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  nnmul2b  47808  nndivides2  47861