Theorem nnmul2 48034

Description: If one factor of a product of integers is at least 2 and less then the product, so is the second factor. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul2	⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Proof of Theorem nnmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12948	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 1))
3	2	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
5		elfzoelz 13687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ax-1rid 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	8	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 ↔ 𝐴 = 𝑁))
10		elfzo2 13690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
11		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
12	11	eqcoms 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝑁 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
14		eluzelre 12872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ltnrd 11343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
16	15	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
18	13, 17	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
19	18	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
20	19	3adant2 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
21	10, 20	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
22	9, 21	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
23	22	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
24	4, 23	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
25	24	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
26		eluzle 12874	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐵)
27	26	2a1d 27	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	jaoi 870	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
29	1, 28	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
30	29	3imp21 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ≤ 𝐵)
31		eluz2gt1 12943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
32	31	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
33	10, 32	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 1 < 𝐴)
34	33	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 1 < 𝐴)
35	6	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		nnrp 13027	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	35, 37	ltmulgt12d 13095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐵)))
39	34, 38	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < (𝐴 · 𝐵))
40		breq2 5112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
41	40	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
42	39, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
43		nnz 12611	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
45		2z 12625	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
47		elfzoel2 13686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elfzo 13689	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
51	30, 42, 50	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  2c2 12294  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  nnmul2b  48035  nndivides2  48088