Theorem nnmul2 47775

Description: If one factor of a product of integers is at least 2 and less then the product, so is the second factor. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul2	⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Proof of Theorem nnmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12864	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 1))
3	2	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
5		elfzoelz 13602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ax-1rid 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	8	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 ↔ 𝐴 = 𝑁))
10		elfzo2 13605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
11		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
12	11	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝑁 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
14		eluzelre 12788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ltnrd 11269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
16	15	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
18	13, 17	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
19	18	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
20	19	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
21	10, 20	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
22	9, 21	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
24	4, 23	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
25	24	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
26		eluzle 12790	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐵)
27	26	2a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
29	1, 28	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
30	29	3imp21 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ≤ 𝐵)
31		eluz2gt1 12859	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
33	10, 32	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 1 < 𝐴)
34	33	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 1 < 𝐴)
35	6	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		nnrp 12943	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	35, 37	ltmulgt12d 13011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐵)))
39	34, 38	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < (𝐴 · 𝐵))
40		breq2 5090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
41	40	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
42	39, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
43		nnz 12534	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
45		2z 12548	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
47		elfzoel2 13601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elfzo 13604	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
51	30, 42, 50	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  1c1 11028   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  2c2 12225  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ℝ⁺crp 12931  ..^cfzo 13597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598

This theorem is referenced by:  nnmul2b  47776  nndivides2  47829