Theorem nnmul2 48322

Description: If one factor of a product of integers is at least 2 and less then the product, so is the second factor. (Contributed by AV, 5-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nnmul2	⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

Proof of Theorem nnmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 13022	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 1))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 1 → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 ↔ (𝐴 · 1) = 𝑁))
5		elfzoelz 13762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	5	zred 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ax-1rid 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	8	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 ↔ 𝐴 = 𝑁))
10		elfzo2 13765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
11		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
12	11	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = 𝑁 → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 ↔ 𝐴 < 𝐴))
14		eluzelre 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	ltnrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
16	15	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐵))
18	13, 17	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 = 𝑁) → (𝐴 < 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
19	18	impancom 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
20	19	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
21	10, 20	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → (𝐴 = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
22	9, 21	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 1) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
24	4, 23	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 1 ∧ 𝐴 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵))
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
26		eluzle 12948	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐵)
27	26	2a1d 27	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 1 ∨ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
29	1, 28	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → 2 ≤ 𝐵)))
30	29	3imp21 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ≤ 𝐵)
31		eluz2gt1 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
32	31	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
33	10, 32	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 1 < 𝐴)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 1 < 𝐴)
35	6	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
36		nnrp 13102	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	35, 37	ltmulgt12d 13170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (1 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 · 𝐵)))
39	34, 38	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < (𝐴 · 𝐵))
40		breq2 5106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) = 𝑁 → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
41	40	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐵 < 𝑁))
42	39, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 < 𝑁)
43		nnz 12684	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
45		2z 12698	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
47		elfzoel2 13761	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (2..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elfzo 13764	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → (𝐵 ∈ (2..^𝑁) ↔ (2 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝑁)))
51	30, 42, 50	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐵) = 𝑁) → 𝐵 ∈ (2..^𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  1c1 11173   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316  ℕcn 12305  2c2 12367  ℤcz 12663  ℤ_≥cuz 12935  ℝ⁺crp 13090  ..^cfzo 13757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758

This theorem is used by:  nnmul2b  48323  nndivides2  48376